1.4 Bidual d’un espace vectoriel

Définition 1.17

Soit E un espace vectoriel. Le dual de \[E^*\], noté \[E^{\ast \ast}\] est appelé bidual de E.

FondamentalProposition 1.18

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et considérons l’application

\[\begin{equation*} \begin{array}{c} \Phi :E\rightarrow E^{\ast \ast } \\ \begin{array}{c} \qquad \quad \qquad x\mapsto \overset{\sim }{x}:E^{\ast }\rightarrow K \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \varphi \mapsto \varphi (x)% \end{array}% \end{array}% \end{equation*} \]

est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Cet isomorphisme permet d’identifier le bidual \[E^{\ast \ast}\] à E.

SimulationExercice 1.19

Soit \[E=\mathbb{R}_{3}[X]\] l’espace des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égale à 3. Pour \[P\in\mathbb{R}_{3}[X]\], on pose

\[f_{1}\left( P\right) =P(0),\quad f_{2}(P)=P(1),\quad f_{3}(P)=P^{\prime }(0),\quad f_{4}(P)=P^{\prime }(1)\].

1. Montrer que \[f_{i}\] est une forme linéaire sur E pour i = 1, . . ., 4 et que \[\left\{ f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}\right\}\] est une base de \[E^*\] .

2. Déterminer une base \[\left\{ P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}\right\}\] de E dont \[\left\{ f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}\right\}\] est la base duale.

SimulationExercise 1.20

Soit \[E=\mathbb{R}^{4}\], et \[F=\left\{ \left( x,y,z,t\right) \in E\mid x+y-z+t=0\right\}\] et \[D=vect\Big( v=(1,1,1,1)\Big).\]

a) Montrer que F est un hyperplan de E.

b) Montrer que F et D sont deux sous-espaces supplémentaires de E.

c) Soit un réel m et \[u=\big( m,m+1,2m,m-2\big) \in E\] . Pour quelles valeurs de m les sous-espaces F et ∆ = vect (u) sont-ils supplémentaires dans E ?