1.2 Hyperplan
Définition 1.5
Soit E un K-espace vectoriel. On appel hyperplan de E , le noyau de toute forme linéaire sur E autre que la forme nulle.
Autrement dit, une partie H de E est un hyperplan de E s’il existe \[\varphi \in E^{\ast }\backslash \left\{ 0\right\} \], telle que H = ker (\[\varphi\]) : On dit alors que la relation \[\varphi (x)=0\] est une équation de l’hyperplan H.
Exemple : Exemple 1.6
(a) \[H=\left\{ A\in M_{n}\left( K\right) : Tr\left( A\right)=0\right\}\] est un hyperplan de \[M_{n}(K)\].
(b)\[H=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}:2x-3y+z=0\right\}\] est un hyperplan de \[\mathbb{R}^{3}\].
(c) \[H=\left\{ P\in K\left[ X\right] :P(0)=0\right\}\] est un hyperplan de K [X] .
Fondamental : Proposition 1.7
Soit H un sous-espace vectoriel de E. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(a) H est un hyperplan de E.
(b) Il existe dans E une droite vectorielle D supplémentaire de H telle que E = H ⊕ D.
Si E est de dimension finie, les conditions précédentes sont équivalentes à
(c) dim(H) = dim(E) -1 (autrement dit, H est de codimension 1).
(d) Toute droite vectorielle de E engendrée par un vecteur n’appartenant pas à H est un supplémentaire de H.
Remarque : Remarque 1.8
Si E est de dimension finie n et \[B=(e_{j})_{j=1}^{n}\] une base de E . Relativement à la base B un hyperplan H de E admet une équation unique, de la forme \[a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=0\] où on a noté \[x_{1},...,x_{n}\] les coordonnées de vecteur x de E par rapport à B.
Complément : Corollaire 1.9
Deux formes linéaires non nulles sur un espace vectoriel E sont proportionnelles si et seulement si elles ont le même noyau.