1.3 Base duale

Attention

Soit E un espace vectoriel de dimension finie, n ≥1. Nous nous renvoyons à l’exemple 1.2 pour la définition des j èmes formes linéaires.

FondamentalProposition 1.10

Soit \[B=(e_{j})_{j=1}^{n}\] une base de E. La famille des formes coordonnées \[B^{\ast }=(e_{i}^{\ast })_{i=1}^{n}\] est une base de l’espace dual \[E^*\], appelée base duale de B.

De plus, pour tout \[i,j\in [1,n]\]], on a les relations (d’orthogonalité) de Kronecker :

\[\begin{equation*} e_{i}^{\ast }\left( e_{j}\right) =\delta _{ij}=\left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0% \end{array}% \begin{array}{c} \text{si }i=j \\ \text{si }i\neq j% \end{array}% \right. \end{equation*}\]

ComplémentCorollaire 1.11

Soient \[B=(e_{j})_{j=1}^{n}\] une base de E et \[B^{\ast }=(e_{i}^{\ast })_{i=1}^{n}\] sa base duale, alors on a les relations suivantes :\[\blacktriangleright \forall x\in E,x=\sum_{i=1}^{n}e_{i}^{\ast }\left(x\right) e_{i} \]

\[\blacktriangleright \forall x\in E,x=\sum_{i=1}^{n}e_{i}^{\ast }\left(x\right) e_{i} \]

\[\blacktriangleright \forall \varphi \in E^{\ast },\varphi =\sum_{i=1}^{n}\varphi \left( e_{i}\right) e_{i}^{\ast }\]

\[\blacktriangleright \forall f\in L\left( E\right) ,a_{ij}=e_{i}^{\ast }\left( f\left( e_{j}\right) \right) : \left( a_{ij}\right) _{1\leq i,j\leq n}=Mat_{B}\left( f\right)\]

FondamentalProposition 1.12

(a) Si \[\varphi\] est une forme linéaire non nulle sur E, il existe un vecteur x de E (non nul) tel que \[\varphi (x)=1\].

(b) Si x est un vecteur de E non nul, il existe une forme linéaire \[\varphi \in E^{\ast } \] telle que ’(x) = 1.

FondamentalProposition 1.13

Toute base de \[E^*\] est la base duale d’une unique base de E , appelée base préduale.

FondamentalProposition 1.14 (Changement de base duale)

Soient B1 et B2 deux bases de E, et soit P la matrice de passage de B1 à B2.

Alors la matrice de passage de \[B_{1}^*\] à \[B_{2}^{\ast }\] est \[^{t}P^{-1}\].

ComplémentCorollaire 1.15 (Calcul pratique de la base duale)

Soient \[B_{0}=\left(e_{i}\right)_{i=1}^{n}\] la base canonique de E et \[B_{0}^{\ast}=(e_{i}^{\ast })_{i=1}^{n}\] sa base duale. Soit \[B=(v_{i})_{i=1}^{n}\] une autre base de E et \[B^{\ast }=(v_{i}^{\ast })_{i=1}^{n}\] sa base duale. Les vecteurs \[v_{i}\,(respectivement\, v_{i}^{\ast })\] étant exprimés dans la base \[B_{0}\] (respectivement \[B_{0}^{\ast }\]). Alors

\[\begin{equation*} Mat_{B_{0}^{\ast }}\left( B^{\ast }\right) =^{t}\left( Mat_{B_{0}}\left( B\right) \right) ^{-1}. \end{equation*}\]

ExempleExemple 1.16

(a) Soient les vecteurs \[v_{1}=(-3,-1,1),v_{2}=(5,2,-1),v_{3}=(6,2,-1)\] de \[\mathbb{R}^{3}\] exprimés dans la base canonique. La famille \[B=(v_{1},v_{2},v_{3})\] est une base de \[\mathbb{R}^{3}\], puisque la matrice

\[P=\left( \begin{array}{ccc} -3 & 5 & 6 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & -1% \end{array}% \right)\] est inversible (de déterminant -1). Déterminons sa base duale.

Soit \[B^{\ast }=(v_{1}^{\ast },v_{2}^{\ast },v_{3}^{\ast })\] la base duale de B. Alors la matrice de passage de \[B_{0}^{\ast }=(e_{1}^{\ast},e_{2}^{\ast },e_{3}^{\ast })\] (base duale de la base canonique) à \[B^{\ast}\] est

\[^{t}P^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ 2 & 0 & 1% \end{array}% \right). \]

On conclue donc que

\[\left\{ \begin{array}{c} v_{1}^{\ast }\left( x,y,z\right) =y+2z \\ v_{2}^{\ast }\left( x,y,z\right) =-x+3y \\ v_{3}^{\ast }\left( x,y,z\right) =x-2y+z% \end{array}% \right. ,\]

ou encore

\[\left\{ \begin{array}{c} v_{1}^{\ast }=e_{2}^{\ast }+2e_{3}^{\ast } \\ v_{2}^{\ast }=-e_{1}^{\ast }+3e_{2}^{\ast } \\ v_{3}^{\ast }=e_{1}^{\ast }-2e_{2}^{\ast }+e_{3}^{\ast }% \end{array}% \right. .\]

(b) Soient

\[\left\{ \begin{array}{c} f_{1}\left( x,y,z\right) =x+2y+3z \\ f_{2}\left( x,y,z\right) =2x+3y+4z \\ f_{3}\left( x,y,z\right) =3x+4y+6z% \end{array}% \right.\]

trois formes linéaires sur \[\mathbb{R}^{3}\]. Dans la base \[B_{0}^{\ast }=(e_{1}^{\ast},e_{2}^{\ast },e_{3}^{\ast })\] elles s' écrivent

\[\left\{ \begin{array}{c} f_{1}=e_{1}^{\ast }+2e_{2}^{\ast }+3e_{3}^{\ast } \\ f_{2}=2e_{1}^{\ast }+3e_{2}^{\ast }+4e_{3}^{\ast } \\ f_{3}=3e_{1}^{\ast }+4e_{2}^{\ast }+6e_{3}^{\ast }% \end{array}% \right. .\]

La famille F = (f1, f2, f3) est bien une base de \[\left(\mathbb{R}^{3}\right)^{\ast }\] puisque la matrice

\[Q=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 6% \end{array}% \right)\]

est inversible. Soit \[B=(v_{1},v_{2},v_{3})\] la base de \[\mathbb{R}^{3}\] dont F est la base duale. La matrice de passage de de Bo à B est donc

\[^{t}Q^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & -2 & 1% \end{array}% \right) .\]

On conclue donc que \[v_{1}=(-2,0,1),v_{2}=(0,3,-2),v_{3}=(1,-2,1) \].