1.1 Formes linéaires, espace dual
Définition : Définition 1.1
Soit E un K espace vectoriel. On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K.
On appelle espace dual de E, noté \[E^*\], l’espace vectoriel des formes linéaires sur E. Autrement dit, E = L (E, K) et \[\varphi \in E^{\ast } \] signifie que \[\varphi:E\rightarrow K \] est une application linéaire telle que :\[\forall \left(x,y\right) \in E^{2} \] et \[\forall \left( \alpha ,\beta \right) \in K^{2},\varphi \left( \alpha x+\beta y\right) =\alpha \varphi \left( x\right) +\beta \varphi \left( y\right). \]
Exemple : Exemple 1.2
(a) L’application \[\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}, (x,y)\mapsto 2x+y \] est une forme linéaire sur \[\mathbb{R}^{2}\].
(b) L’application nulle de E dans K est une forme linéaire, appelée forme nulle sur E.
(c) Si E = K [X] l’espace des polynômes à coefficients dans K, alors pour tout \[a\in K \], l’application \[P\mapsto P(a) \] est une forme linéaire sur E.
(d) Si E = C ([a; b], R) l’espace des fonctions réelles continues sur [a, b], alors l’application \[f\mapsto \int_{a}^{b} f(t)dt \] est une forme linéaire sur E.
(e) Si E = \[M_{n}(K)\], alors l’application trace : \[A=(a_{ij})\mapsto Tr(A)=\sum_{1}^{n}a_{ii} \] est une forme linéaire sur E.
(f) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et \[B=(e_{1},...,e_{n}) \] une base de E. Tout élément x de E s’écrit d’une manière unique sous la forme \[x=\sum_{1}^{n}x_{i}e_{i}\].
Pour chaque\[j\in \left[ 1,n\right]\], l’application \[e_{j}^{\ast}:E\rightarrow K,x\mapsto e_{j}^{\ast }(x)=x_{j}\] est une forme linéaire sur E appelée jème forme coordonnée relative à la base B.
Texte légal : Propostion 1.3
Soit \[n\in \mathbb{N}^{\ast } \].
(a) Soit \[\left( \lambda _{1},...,\lambda _{n}\right) \in K^{n} \] . L’application de \[K^{n}\] dans K qui à tout \[x=\left(x_{1},...,x_{n}\right) \in K^{n}\] associe le scalaire \[\varphi (x)=\sum_{1}^{n}\lambda _{j}x_{j}\] est une forme linéaire sur \[K^{n}\].
(b) Réciproquement, pour toute forme linéaire \[\varphi\] sur \[K^{n}\], il existe un n-uplet \[( \lambda_{1},...,\lambda _{n}) \in K^{n}\] tel que pour tout \[x=\left(x_{1},...,x_{n}\right) \in K^{n}\] on ait \[\varphi (x)=\sum_{1}^{n}\lambda _{j}x_{j}\].
Remarque : Proposition 1.4
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Alors son dual \[E^*\] est de dimension finie et dim E = dim\[E^*\].