Mécanique des Fluides

Considérons une plaque plane de géométrie quelconque de surface A. Elle est immergée totalement dans un fluide incompressible de masse volumique ρ. La plaque est inclinée d’un angle θ quelconque par rapport à la surface libre du fluide ; c’est-à-dire par rapport à l’horizontale et son centre de gravité est G. Ainsi, elle est soumise à la force de pression du fluide F₁ et la force de milieu extérieur F₂ voir la figure II.11.

L’intensité de la force de pression totale F_T est égale la somme des forces qui agissants sur toute la surface plane (les forces de deux côtés intérieure F₁ et extérieures F₂).

$F_T=F_1-F_2$

Dans le côté intérieur, la force de pression élémentaire dF₁ agissant sur un élément infiniment petit d’aire dA, à une profondeur h et à une distance y de l’axe OY est :

${\mathit{dF}}_1=P\mathrm{.}\mathit{dA}=(P_{\mathit{atm}}+\rho \mathrm{.}g\mathrm{.}h)\mathrm{.}\mathit{dA}=(P_{\mathit{atm}}+\rho \mathrm{.}g\mathrm{.}y\mathrm{.}\sin (\theta ))\mathrm{.}\mathit{dA}$

Pour trouver la force de pression totale F₁ agissant sur toute la surface de la plaque A, il suffit d’intégrer dF₁ sur cette surface :

$\begin{array}{c}{F}_1=\underset{A}{\int }(P_{\mathit{atm}}+\rho \mathrm{.}g\mathrm{.}y\mathrm{.}\sin (\theta ))\mathrm{.}\mathit{dA}\\ F_1=P_{\mathit{atm}}\mathrm{.}A+\rho \mathrm{.}g\mathrm{.}\sin (\theta )\underset{A}{\int }\mathit{dA}\end{array}$

Avec :

$\underset{A}{\int }y\mathrm{.}\mathit{dA}=\underset{x}{\int }\mathit{dx}\mathrm{.}\underset{y}{\int }\mathit{dy}=x\mathrm{.}\frac{1}{2}{y}^2=\frac{y}{2}\mathrm{.}x\mathrm{.}y=\overline{y}\mathrm{.}A$

Où :

A : la surface totale de la plaque en contact avec le fluide,

$\overline{y}$: la distance suivant l’axe y jusqu’au le centre de gravité de la plaque G.

$F_1=P_{\mathit{atm}}\mathrm{.}A+\rho \mathrm{.}g\mathrm{.}A\mathrm{.}\overline{y}\mathrm{.}\sin (\theta )$

Où : $\overline{h}=\overline{y}\mathrm{.}\sin (\theta )$

$F_1=P_{\mathit{atm}}\mathrm{.}A+\rho \mathrm{.}g\mathrm{.}A\mathrm{.}\overline{h}$

Par ailleurs, dans le côté extérieur de la plaque la force de pression totale F₂ agissant sur toute la surface de la plaque A, est :

$F_2=P_{\mathit{atm}}\mathrm{.}A$

La force hydrostatique F_T (force de pression) agissant sur toute la surface de la plaque plane est :

$F_T=F_1-F_2$

Avec :

$F_T=P_{\mathit{atm}}\mathrm{.}A+\rho \mathrm{.}g\mathrm{.}A\mathrm{.}\overline{h}-P_{\mathit{atm}}\mathrm{.}A$

Dans la plupart des cas, le côté extérieur de la plaque est ouvert à l'atmosphère, et donc la pression atmosphérique agit sur les deux côtés (intérieure et extérieure) de la plaque, donnant une résultante nulle. À cet effet, la force hydrostatique F_T est :

$F_T=\rho \mathrm{.}g\mathrm{.}A\mathrm{.}\overline{h}$

Où :

ρ : la masse volumique de fluide en kg/m³,

g : l’accélération de la pesanteur m/s²,

$\overline{h}$: la distance verticale entre la surface libre du fluide et le centre de gravité G de la plaque (la profondeur de centre de gravité de la plaque) en m.

La force de pression hydrostatique F_T n’agissant pas au centre de gravité, G de la plaque, mais à un point appelé centre de poussée ou de pression (y_cp). Le centre de poussée y_cp de la force hydrostatique sur les surfaces plane est présenté par l’équation suivante :

Où :

y_cp : le centre de poussée en m,

y_G : la distance suivant l’axe y de centre de gravité en m,

A : la surface de la plaque en contact avec le fluide en m²,

I_GX : le moment d’inertie de la plaque par rapport à l’axe x en m⁴.

Le tableau II.1 montre les moments d’inertie et autres propriétés géométriques de quelques surfaces planes couramment utilisées :