Équation du mouvement d’Euler

Considérons un fluide parfait qui s’écoule en régime permanent à travers une conduite. Un petit élément fluide sous forme d’un cylindre se déplaçant le long d’une ligne de courant. La ligne de courant est inclinée d’un angle θ quelconque par rapport à l’axe X comme présenté la figure III.2. L’élément fluide est de longueur ds et de section dA dans un plan orthonormé OXZ. Ainsi, cet élément peut subir une accélération ou une décélération en raison des forces agissant sur l’élément. Dans ce cas, le fluide est parfait et le régime est permanent, l’élément fluide soumis que les forces de pression et de poids (volume) seulement.

Figure III. 2. Les forces agissant sur un élément fluide [ (4)]Informations[1]

Méthode

En appliquant la deuxième loi de Newton sur l’élément fluide dans la direction, s, on aura donc :

∑ F s = m . a s sum F_{s} = m. a_{s}

Où :

Fs : la force résultante sur l’élément fluide dans la direction du, s.

m : la masse de l’élément fluide,

as : l’accélération dans la direction du s.

Complément

Les forces agissant sur l’élément fluide sont :

  1. Force de pression de fluide P.dA dans le sens de l’écoulement,

  2. Force de pression de fluide (P + dP).dA opposée à la direction de l’écoulement,

  3. Poids de l’élément de fluide G = mg = ρ.g.dA.ds.

P . dA − ( P + dP ) dA − G . sin ( θ ) = m . a s P.dA-( P+dP )dA-G.sin( %theta ) = m. a_{s}

Où :

a s = dU dt a_{s}= {dU} over {dt}

Où la vitesse U est une fonction de s et t, en prenant la différentielle totale de U(s, t), on obtient :

dU = ∂ U ∂ s . ds + ∂ U ∂ t . dt dU= { partial U} over { partial s} .ds + { partial U} over { partial t}.dt

En divisant chaque terme de l’équation précédente par dt, on obtient :

dU dt = ∂ U ∂ s . ds dt + ∂ U ∂ t {dU} over {dt} = { partial U} over { partial s} . {ds} over {dt} + { partial U} over { partial t}

L’écoulement est en régime permanent (∂U/∂t = 0), on obtient :

a s = dU dt = ∂ U ∂ s . U = U . dU ds a_{s}= {dU} over {dt} = { partial U} over { partial s} . U =U. { dU} over {ds}

En remplaçant les valeurs de as, G et m dans l’équation (III-8), on trouve :

P . dA − ( P + dP ) . dA − ρ . g . dA . ds . sin ( θ ) = ρ . dA . ds . U . dU ds P.dA-( P+dP ).dA - %rho .g.dA.ds.sin( %theta ) = %rho .dA.ds.U. {dU} over {ds}

Ainsi, en remplaçant dans l’équation (III-9) sinθ par dz/ds et en simplifiant l’équation, on obtient :

− dP . dA − ρ . g . dA . ds . dz ds = ρ . dA . ds . U . dU ds -dP.dA - %rho .g.dA.ds. {dz} over {ds} = %rho .dA.ds.U. {dU} over {ds}

En divisant tous les termes de l’équation (III-10) par le produit ρ.dA et de simplifier :

dP ρ + g . dz + U . dU = 0 {dP} over {%rho} +g. {dz} + U. {dU} =0

L’équation (III-11) est appelée l’équation de mouvement d’Euler ou équation générale de la dynamique des fluides parfaits.

On peut écrire l’équation (III-11) sous forme vectorielle :

ρ . g ⃗ − grad ⃗ ( dP ) = ρ . dU dt {%rho}. vec g - vec grad (dP) =%rho . {dU} over {dt}