Corrigé TD N° : 1 Logiques et Raisonnement

Correction de l'exercice 1

  1. \(P\)

    \(Q\)

    \(\bar{P}\)

    \(\bar{Q}\)

    \(P \wedge Q\)

    \(\overline{P \wedge Q}\)

    \(\overline{P \vee \bar{Q}}\)

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    F

    V

    F

    F

    V

    F

    V

    V

    F

    V

    V

    F

    F

    V

    V

    F

    F

    V

    V

    F

    V

    V

  2. \(P\)

    \(Q\)

    \(\bar{P}\)

    \(\bar{Q}\)

    \(P \vee Q\)

    \(\overline{P \vee Q}\)

    \(\bar{P} \wedge \bar{Q}\)

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    F

    V

    F

    F

    V

    V

    F

    F

    F

    V

    V

    F

    V

    F

    F

    F

    F

    V

    V

    F

    V

    V

Correction de l'exercice 2

  1. \(((5-2=7) \wedge(1+3 \leq 0)) \vee \overline{(5 \times 6=11)}\)

    \(\overline{(5 \times 6=11)}\) c-à-d: \((5 \times 6 \neq 11)\) (cette proposition est vraie)

    \(5-2=7\)

    \(1+3 \leq 0\)

    \((5-2=7) \wedge(1+3 \leq 0)\)

    \(\overline{5 \times 6=11}\)

    \((A) \vee(B)\)

    F

    F

    F

    V

    V

    A

    B

    Donc : est une proposition vraie.

    La négation de (1) est : \(((5-2 \neq 7) \vee(1+3>0)) \wedge(5 \times 6=11)\)

  2. L'inéquation \(2x + y > 0\) est vraie car \(\forall x \in \mathbb{R}\) et \(\exists y = -2x + 1\in \mathbb{R} :2x + y > 0\)

    La négationde de (2) est : \(\exists x \in \mathbb{R} ,\forall y \in \mathbb{R}\): \(2x + y \leq 0\).

  3. \(\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: x+y>0\).

    Cette assertion est fausse car sa négation qui est :

    \(\exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: x+y \leq 0\) est vraie. Par exemple, on peut prendre \(x=-5\) et \(y=2\) et alors \(-5+2=-3 \leq 0\).

  4. \(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: y^{2}>x\). Cette assertion est vraie. Car : \(\exists x=-1 \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: y^{2}>-1\).

    La négationde de (4) est : \(\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: y^{2} \leq x\).

  5. \(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: x+y>0\).

Cette assertion est fausse car sa négation qui est :

\(\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: x+y \leq 0\) est vraie. Étant donné \(x \in \mathbb{R}\) il existe toujours un \(y \in \mathbb{R}\) tel que \(x+y \leq 0\). Par exemple on peut prendre \(y=-(x+1) \in \mathbb{R}\) et alors \(x+y=x-x-1=-1 \leq 0\).

Correction de l'exercice 3

En utilisant \(P(n)\), on obtient :

\(\begin{align*}&13 + 23 + \ldots + (n + 1)^3 \\&= 13 + 23 + \ldots + n^3 + (n + 1)^3 \\&= \frac{n^2(n + 1)^2}{4} + \frac{4(n + 1)^3}{4} + (n + 1)^3 \\&= \frac{(n + 1)^2(n^2 + 4n + 4)}{4} \\&= \frac{(n + 1)^2(n + 2)^2}{4}.\end{align*}\)

Ainsi, \(P(n + 1)\) est vraie, alors \(\forall n \in \mathbb{N} : 8n^2 \in \mathbb{N} : 13 + 23 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\).