Les quantificateurs

  1. Quantificateur universel "\( \forall\)"

    La relation pour tous \(x\) tel que \(\mathrm{P}(\mathrm{x})\) est notée : \(\forall x, P(x)\) se lit quel que soit \(x, P(x)\).

  2. Quatificateur existentiel "\(\exists\)"

    La relation il existe un \(x\) tel que \(P(x)\) est notée: \(\exists x, P(x)\).

Remarque

Il existe[1] un et un seul élément \(x\) de \(E\) c'est à dire un unique \(x\), \(P(x)\) est notée : \(\exists ! x \in E, P(x)\)

Exemple

  1. L'assertion " \(\forall x \in \mathbb{R}: x^{2} \geqslant 0\) " est vraie car pour tout réel \(x\), on a : \(x^{2}\) est positif.

  2. \(P(x)\) : la fonction \(f\) s'annule en \(x_{0}\) devient

    \(P(x): \exists x_{0} \in \mathbb{R}, f\left(x_{0}\right)=0 .\)

Régles de négations

  1. La négation[2] de \(\forall x \in E, P(x)\) est : \(\exists x \in E, \bar{P}(x)\).

  2. La négation de \(\exists x \in E, P(x)\) est : \(\forall x \in E, \bar{P}(x)\).