TD N° : 2 Ensembles, Relations binaires et Applications

Exercice 1.

Répondre par vrai ou faux aux assertions suivantes et justifier vos réponses :

  1. \(\{9\} \cup \{9\} = \{(9,9)\}\).

  2. \(\{6\} - \{6\} = \{0\}\).

  3. \(\{3\} \times \{8\} = \{24\}\).

  4. \(\varnothing \subset \{\varnothing\}\).

Exercice 2.

  1. Soient \(A = \{\{a\},\{b\}\} et B = \{\{a\},\{a,b\}\}.\)

    • Décrire les ensembles : \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(B \setminus A\), \(A \triangle B\)

    • Remplacer les points... par l'un des symboles : \(\in, \subset, \notin, \not \subset\).

      \(\{a\}  ... A \cap B, \{\{b\}\} ... A \cup B, \{a\} ...B \setminus A, \{a,b\} ... A \triangle B, \{\{a\}\} ... A \triangle B\).

  2. Soient \(A, B\) et \(C\) trois sous-ensembles d'un ensemble \(E\).

    • Montrer que : ( Lois de Morgan)

      1. \(\overline{\bar{A}} \cap \bar{B}\)

        \(\overline{A \cup B} \overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}\}\)

        \(\bar{A}\) désigne la complémentaire de \(A\) dans \(E\).

      2. \(A \subset B \Longrightarrow \bar{B} \subset \bar{A}\).

    • Simplifier les ensembles suivantes :

      \(\overline{(A \cup B)} \cap \overline{(C \cup \bar{A})}, \overline{(A \cap B)} \cup \overline{(C \cap \bar{A})}\).

Exercice 3.

Soient \(A\) et \(B\) deux sous-ensembles d'un ensemble \(E\). On rappelle que l'on note : \(A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\).

  1. Montrer que :

    • \(A \triangle B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\).

    • \((A \cap B) \cap \overline{(A \cap C)}=A \cap B \cap \bar{C}.\)

      \((A \cap C) \cap \overline{(A \cap B)}=A \cap C \cap \bar{B}.\)

  2. En déduire que :

    \((A \cap B) \triangle(A \cap C)=A \cap(B \triangle C)\).

Exercice 4.

Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles, \(A, C\) deux parties de \(E\), et \(B ,D\) deux parties de \(F\). On veut montrer que :

\((A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D).\)

Exercice 5.

  1. On considère la relation binaire \(R\) définie sur \(\mathbb{Z}\) par :

    \( \forall (x, y) \in \mathbb{Z}^2, xRy \Leftrightarrow x - y \text{ est un multiple de } 3.\)

    • Montrer que \(R\) est une relation d'équivalence sur \(\mathbb{Z}\) .

    • Déterminer l'ensemble quotient  \(\mathbb{Z}/R\).

    • Montrer que :

      \(\dot{7} = \dot{4}.\)

  2. Soit \(\leq\) la relation binaire sur \(\mathbb{N}^*\) définie par :

    \(x \leq y \Leftrightarrow x \text{ divise } y.\)

    • Montrer que \(\leq\) est une relation d'ordre sur \(\mathbb{N}^*\).

    • L'ordre est-il total ?

Exercice 6

  1. Soit \(f\) une application de \(E\) dans \(F\) et \(A\) et \(B\) deux partie de \(E\). Montrer que :

    \(f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)\)

  2. Soit l'application \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)  définie par : \( f(x) = x^2\) . On considère les ensembles \( A = [-2,1] et B = [0,3]\) .

    • Comparer les ensembles \(f(A \cap B)\) et \(f(A) \cap f(B)\) .

    • Quelle condition doit vérifier \(f\)  pour que : \(f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)\) .