Corrigé TD N° : 1 Logiques et Raisonnement
Correction de l'exercice 1
\(P\)
\(Q\)
\(\bar{P}\)
\(\bar{Q}\)
\(P \wedge Q\)
\(\overline{P \wedge Q}\)
\(\overline{P \vee \bar{Q}}\)
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
\(P\)
\(Q\)
\(\bar{P}\)
\(\bar{Q}\)
\(P \vee Q\)
\(\overline{P \vee Q}\)
\(\bar{P} \wedge \bar{Q}\)
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
Correction de l'exercice 2
\(((5-2=7) \wedge(1+3 \leq 0)) \vee \overline{(5 \times 6=11)}\)
\(\overline{(5 \times 6=11)}\) c-à-d: \((5 \times 6 \neq 11)\) (cette proposition est vraie)
\(5-2=7\)
\(1+3 \leq 0\)
\((5-2=7) \wedge(1+3 \leq 0)\)
\(\overline{5 \times 6=11}\)
\((A) \vee(B)\)
F
F
F
V
V
A
B
Donc : est une proposition vraie.
La négation de (1) est : \(((5-2 \neq 7) \vee(1+3>0)) \wedge(5 \times 6=11)\)
L'inéquation \(2x + y > 0\) est vraie car \(\forall x \in \mathbb{R}\) et \(\exists y = -2x + 1\in \mathbb{R} :2x + y > 0\)
La négationde de (2) est : \(\exists x \in \mathbb{R} ,\forall y \in \mathbb{R}\): \(2x + y \leq 0\).
\(\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: x+y>0\).
Cette assertion est fausse car sa négation qui est :
\(\exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: x+y \leq 0\) est vraie. Par exemple, on peut prendre \(x=-5\) et \(y=2\) et alors \(-5+2=-3 \leq 0\).
\(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: y^{2}>x\). Cette assertion est vraie. Car : \(\exists x=-1 \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: y^{2}>-1\).
La négationde de (4) est : \(\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: y^{2} \leq x\).
\(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: x+y>0\).
Cette assertion est fausse car sa négation qui est :
\(\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: x+y \leq 0\) est vraie. Étant donné \(x \in \mathbb{R}\) il existe toujours un \(y \in \mathbb{R}\) tel que \(x+y \leq 0\). Par exemple on peut prendre \(y=-(x+1) \in \mathbb{R}\) et alors \(x+y=x-x-1=-1 \leq 0\).
Correction de l'exercice 3
En utilisant \(P(n)\), on obtient :
\(\begin{align*}&13 + 23 + \ldots + (n + 1)^3 \\&= 13 + 23 + \ldots + n^3 + (n + 1)^3 \\&= \frac{n^2(n + 1)^2}{4} + \frac{4(n + 1)^3}{4} + (n + 1)^3 \\&= \frac{(n + 1)^2(n^2 + 4n + 4)}{4} \\&= \frac{(n + 1)^2(n + 2)^2}{4}.\end{align*}\)
Ainsi, \(P(n + 1)\) est vraie, alors \(\forall n \in \mathbb{N} : 8n^2 \in \mathbb{N} : 13 + 23 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\).