Matrices orthogonales
Définition : Définition 3.5
On appelle matrice orthogonale toute matrice carrée réelle \(P\) d’ordre \(n\) telle que \[^{t}PP=I_{n}\]. C-`a-d. c’est une matrice inversible et son inverse égale à sa transposée.
Fondamental : Corollaire 3.1
Les vecteurs colonnes d’une matrice orthogonale forment une base orthonormée pour le produit scalaire usuel de \[\mathbb{R}^{n}\].
Fondamental : Théorème 3.3
Soit \(E\) un espace euclidien muni d’une base orthonormée \(B\). Une nouvelle base \(B^\prime\) de \(E\) est orthonormée pour ce produit scalaire ssi la matrice de passage de \(B\) à \(B^\prime\) est orthogonale.
Preuve :
En effet si \[B=\left( e_{1},...,e_{n}\right) ,B^{\prime }=\left( u_{1},...,u_{n}\right)\] sont deux bases orthonormées de \(E\), alors
\[\begin{eqnarray*} P &=&P_{B}\left( B^{\prime }\right) =\left( \begin{array}{ccc} \left[ u_{1}\right] _{B} & \cdots & \left[ u_{n}\right] _{B}% \end{array}% \right) =Mat\left( Id_{E},B^{\prime },B\right) \\ &=&\overset{% \begin{array}{ccc} u_{1} & \cdots & u_{n}% \end{array}% }{\left( \begin{array}{ccc} p_{11} & \cdots & p_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & \cdots & p_{nn}% \end{array}% \right) }% \begin{array}{c} e_{1} \\ \vdots \\ e_{n}% \end{array}% , \end{eqnarray*}\]
d'où on a
\[\begin{eqnarray*} ^{t}PP &=&% \begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ u_{n}% \end{array}% \left( \begin{array}{ccc} p_{11} & \cdots & p_{n1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{1n} & \cdots & p_{nn}% \end{array}% \right) \overset{% \begin{array}{ccc} u_{1} & \cdots & u_{n}% \end{array}% }{\left( \begin{array}{ccc} p_{11} & \cdots & p_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & \cdots & p_{nn}% \end{array}% \right) } \\ &=&\left( \begin{array}{ccc} \langle u_{1},u_{1}\rangle & \cdots & \langle u_{1},u_{n}\rangle \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle u_{n},u_{1}\rangle & \cdots & \langle u_{n},u_{n}\rangle% \end{array}% \right) \\ &=&\left( \langle u_{i},u_{j}\rangle \right) _{1\leq i,j\leq n} \\ &=&\left( \sum_{k=1}^{n}p_{ki}p_{kj}\right) _{1\leq i,j\leq n}. \end{eqnarray*}\]
Puisque \(B^\prime\) est orthonormée, alors pour tout \[i,j\in \left[ 1,n\right] ,\langle u_{i},u_{j}\rangle =0\], si i≠j et \[\langle u_{i},u_{i}\rangle =1\], d'où \[^{t}PP=I_{n}\] et donc \(P\) est orthogonale.
Réciproquement : Soient \(B, B^\prime\) deux bases de \(E\) telle que\(B\) est orthonormée et \[P_{B}\left( B^{\prime }\right)\] est orthogonale. Montrons que \(B^\prime\) est une base orthonormée. On a
\[\begin{eqnarray*} P_{B}\left( B^{\prime }\right) =\overset{% \begin{array}{ccc} u_{1} & \cdots & u_{n}% \end{array}% }{\left( \begin{array}{ccc} p_{11} & \cdots & p_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & \cdots & p_{nn}% \end{array}% \right) }% \begin{array}{c} e_{1} \\ \vdots \\ e_{n}% \end{array}\\ ^{t}P=\left( \begin{array}{ccc} p_{11} & \cdots & p_{n1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{1n} & \cdots & p_{nn}% \end{array}% \right) \begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ u_{n}% \end{array}% , \end{eqnarray*}\]
d'où
\[\begin{equation*} ^{t}PP=I_{n}\Longleftrightarrow \left( \sum_{k=1}^{n}p_{ki}p_{kj}\right) _{1\leq i,j\leq n}=\left( \langle u_{i},u_{j}\rangle \right) _{1\leq i,j\leq n}=I_{n}, \end{equation*}\] pour le produit scalaire usuel de \[\mathbb{R}^{n}\], on obtient par identification pour tout \[i,j\in \left[ 1,n\right] ,\langle u_{i},u_{j}\rangle =0,$ si $i\neq j$ et $\langle u_{i},u_{i}\rangle =1\]. D'où \(B^\prime\) est orthonormée.
Exemple : Exemple 3.4
La matrice
\[\begin{equation*} A=\frac{1}{9}\left( \begin{array}{ccc} 4 & 7 & -4 \\ 1 & 4 & 8 \\ 8 & -4 & 1% \end{array}% \right) \end{equation*}\]
est orthogonale.
En effet \[^{t}AA=I_{3}\], et on pourra aussi vérifier que ces vecteurs colonnes forment une base orthonormée pour \[\mathbb{R}^{3}\].
Fondamental : Proposition 3.4
Les seuls valeurs propres possibles dans \(\mathbb{R}\) d’une matrice orthogonale \[A\in M_{n}\left(\mathbb{R}\right)\] sont \(-1\) et \(1\).
Preuve :
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(A\), où \(A\) est orthogonale, d’où on a
\[\begin{equation*} \exists v\in E\backslash \left\{ 0\right\} :Av=\lambda v. \end{equation*}\]
Alors
\[\begin{equation*} \langle Av,Av\rangle =^{t}\left( Av\right) Av=^{t}v\left( ^{t}AA\right) v=^{t}vv=\langle v,v\rangle =\left\Vert v\right\Vert ^{2}, \end{equation*}\] (3.1)
d’autre part on a
\[\begin{equation*} \langle Av,Av\rangle =^{t}\left( Av\right) Av=^{t}\left( \lambda v\right) \lambda v=\lambda ^{2}\left( ^{t}vv\right) =\lambda ^{2}\langle v,v\rangle =\lambda ^{2}\left\Vert v\right\Vert ^{2}. \end{equation*}\] (3.2)
De (3.1) et (3.2) on obtient
\[\begin{equation*} \begin{array}{c} \lambda ^{2}\left\Vert v\right\Vert ^{2}=\left\Vert v\right\Vert ^{2}\Longrightarrow \lambda ^{2}=1 \\ \qquad \qquad \qquad \Longrightarrow \lambda =\pm 1.% \end{array}% \end{equation*}\]