Espace euclidien
Définition : Définition 3.2
Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire.
En général tout espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire est appelé espace préhilbertien.
Définition : Définition 3.3 (La norme)
Soit \(E\) un espace préhilbertien, l’application : \[\begin{equation*} \begin{array}{c} \left\Vert .\right\Vert :E\rightarrow \mathbb{R}\\ \qquad \qquad \qquad \qquad x\mapsto \left\Vert x\right\Vert =\sqrt{\langle x,x\rangle }% \end{array}% \end{equation*}\]
est appelée norme associée au produit scalaire.
Si \(E\) est un espace euclidien, \[\left\Vert .\right\Vert\] est appelée norme euclidienne.
De plus l’application \[\begin{equation*} \begin{array}{c} d:E\times E\rightarrow \mathbb{R}\\ \qquad \qquad (x,y)\mapsto \left\Vert x-y\right\Vert% \end{array}% \end{equation*}\]
est appelée distance euclidienne.
Fondamental : Proposition 3.1 (Propriétées de la norme)
Pour tout \[x\in E,\left\Vert x\right\Vert \geq 0 \;et\; \left\Vert x\right\Vert >0\; si \;x\neq 0\].
Pour tout \[x\in E\; et\; tout\; \lambda \in K,\left\Vert \lambda x\right\Vert =\left\vert \lambda \right\vert \left\Vert x\right\Vert\].
Si \[x\in E\backslash \left\{ 0\right\} ,\left\Vert \frac{x}{\left\Vert x\right\Vert }\right\Vert =1,$ $\frac{x}{\left\Vert x\right\Vert }\] est appelé vecteur unitaire de \(E\) .
(Inégalité de Cauchy-Schwarz) Pour tout \[x,y\in E,\left\vert \langle x,y\rangle \right\vert \leq\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert\] , avec égalité si \(x, y\) sont liés.
(Inégalité de Cauchy-Schwarz dans \[\mathbb{R}^{n}\])
\[\begin{equation*} \left\vert \sum_{i=1}^{i=n}x_{i}y_{i}\right\vert \leq \sqrt{% \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}}\text{ \ ou \ }\left( \sum_{i=1}^{i=n}x_{i}y_{i}\right) ^{2}\leq \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}. \end{equation*}\]
(Inégalité de Minkovski ou inégalité triangulaire)
Pour tout \[x,y\in E,\left\Vert x+y\right\Vert \leq \left\Vert x\right\Vert+\left\Vert y\right\Vert\], avec égalité si x = 0 ou \[y=\lambda x,\lambda \in \mathbb{R}_{+}\].
Pour tout \[x,y\in E,\left\Vert x+y\right\Vert ^{2}=\left\Vert x\right\Vert ^{2}+2\langle x,y\rangle +\left\Vert y\right\Vert ^{2}\].
(Théorème de Pythagore)
Les vecteurs \(x, y\) de E sont orthogonaux si et seulement si \[\left\Vert x+y\right\Vert ^{2}=\left\Vert x\right\Vert ^{2}+\left\Vert y\right\Vert ^{2}\].