Orthogonalité
Définition : Définition 3.4 (Base orthogonale)
Soit \(E\) un espace euclidien muni d’une base \[B=\left(u_{1},...,u_{n}\right)\]. La base \(B\) est dite orthogonale si les vecteurs \[u_{1},...,u_{n}\] sont deux à deux orthogonaux. C.à.d. \[\langle u_{i},u_{j}\rangle =0,i\neq j\].
Elle est dite orthonormée si \[\begin{equation*} \langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}=\left\{ \begin{array}{c} 1,\text{ si }i=j \\ 0,\text{ si }i\neq j% \end{array}% \right. . \end{equation*}\]
Exemple : Exemple 3.2
Dans l’espace euclidien \[\mathbb{R}^{n}\] muni du produit scalaire usuel \[\langle x,y\rangle =\sum_{i=1}^{i=n}x_{i}y_{i}=^{t}X.Y\], la base canonique de \[\mathbb{R}^{n}\] est orthonormée. En effet
1. Pour tout \[i\in \left[ 1,n\right] ,\langle e_{i},e_{i}\rangle =\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\left\Vert e_{i}\right\Vert^{2}=1\] d'où \[\left\Vert e_{i}\right\Vert =1\].
2. Pour tout \[i,j\in \left[ 1,n\right] ,i\neq j:\langle e_{i},e_{j}\rangle =0\].
Fondamental : Proposition 3.2
Toute famille orthogonale \[B=\left\{ u_{1},...,u_{p}\right\} _{p\leq n}\] de \(E\) est libre.
Preuve :
En effet, soient \[\alpha _{1},...,\alpha _{p}\in \mathbb{R}\] tel que \[\begin{equation*} \alpha _{1}u_{1}+...+\alpha _{p}u_{p}=0. \end{equation*}\]
Soit \[u_{k}\in B\], d’où on a \[\begin{equation*} \langle u_{k},\sum_{i=1}^{p}\alpha _{i}u_{i}\rangle =0, \end{equation*}\]
alors \[\begin{equation*} \sum_{i=1}^{p}\alpha _{i}\langle u_{k},u_{i}\rangle =0, \end{equation*}\]
mais \[\langle u_{k},u_{i}\rangle =0\; \text{} pour\;\text{}tout\;i\neq k \], d'où \[\alpha_{k}\langle u_{k},u_{k}\rangle =0\]. Puisque \[u_{k}\neq 0\], on déduit que \[\alpha _{k}=0\] pour tout \(k\) de \([1, p]\). D’où la familles \(B\) est libre.
Fondamental : Théorème 3.1 (Existence d’une base orthonormée)
Tout espace euclidien admet des bases orthonormées pour son produit scalaire.
Fondamental : Théorème 3.2 (Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt)
Soit \(E\) un espace euclidien. On peut construire à partir d’une base \[B=\left( v_{1},...,v_{n}\right)\] de \(E\) une base orthogonale \[B^{\prime}=\left( u_{1},...,u_{n}\right)\] . La normalisation étant ensuite évidente en prenant \[w_{i}=\frac{u_{i}}{\left\Vert u_{i}\right\Vert },1\leq i\leq n\], on obtient une base orthonormée \[\left\{w_{1},...,w_{n}\right\}\].
Preuve :(Algorithme de Gram-Schmidt)
On prend
\[\begin{eqnarray*} u_{1}&=&v_{1}\\ u_{2}&=&v_{2}-\frac{\langle v_{2},u_{1}\rangle }{\left\Vert u_{1}\right\Vert ^{2}}u_{1}\\ u_{3}&=&v_{3}-\frac{\langle v_{3},u_{1}\rangle }{\left\Vert u_{1}\right\Vert ^{2}}u_{1}-\frac{\langle v_{3},u_{2}\rangle }{\left\Vert u_{2}\right\Vert ^{2}}u_{2}\\ \begin{array}{c} \vdots% \end{array}\\ u_{n}&=&v_{n}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{\langle v_{n},u_{k}\rangle }{% \left\Vert u_{k}\right\Vert ^{2}}u_{k}.% \end{eqnarray*} \]
Donc pour tout \[i\in \left[ 2,n\right] ,u_{i}=v_{i}-\sum\limits_{k=1}^{i-1}% \frac{\langle v_{i},u_{k}\rangle }{\left\Vert u_{k}\right\Vert ^{2}}u_{k}\]. On peut vérifier facilement que pour tout \[i\neq j,$ $\langle u_{i},u_{j}\rangle =0\],
d’où on obtient une base orthogonale \[B^{\prime}=\left( u_{1},...,u_{n}\right)\] pour \(E\).
Il est évident que \[\left(\frac{u_{1}}{\left\Vert u_{1}\right\Vert },...,\frac{u_{n}}{\left\Vert u_{n}\right\Vert }\right)\] est une base orthonormée pour \(E\).
Exemple : Exemple 3.3
Soit \[B=\left\{ v_{1}=\left( 1,-1\right) ,v_{2}=\left( 1,2\right) \right\}\] une base pour \[\mathbb{R}^{2}\].
Calculer une base orthonormée pour \[\mathbb{R}^{2}\] à partir de\(B\).
Solution :
D’après le procédé de Gram-Schmidt on a
\[\begin{eqnarray*} u_{1}&=&v_{1}=\left( 1,-1\right) \\ u_{2}&=&v_{2}-\frac{\langle v_{2},u_{1}\rangle }{\left\Vert u_{1}\right\Vert ^{2}}u_{1}=\left( 1,2\right) -\frac{1-2}{2}\left( 1,-1\right) =\left( \frac{3% }{2},\frac{3}{2}\right) \end{eqnarray*}\]
On remarque que \[\langle u_{1},u_{2}\rangle =0\], d'où \[\left\{ u_{1}=\left( 1,-1\right) ,u_{2}=\left( \frac{3}{2},\frac{3}{2}\right) \right\} \] est une base orthogonale pour \[\mathbb{R}^{2}\] et \[B^{\prime }=\left\{ u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( 1,-1\right) ,u_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( 1,1\right) \right\}\] est une base orthogonale pour \[\mathbb{R}^{2}\].
Fondamental : Proposition 3.3
Soit \(E\)un espace euclidien et \(F\) un sous-espace de \(E\) , on a
\[\begin{eqnarray*} &&\left( 1\right) F^{\perp }=\left\{ x\in E,\text{ }\forall y\in F:\langle x,y\rangle =0\right\}\\ &&\left( 2\right) \left( F^{\perp }\right) ^{\bot }=F\\ &&\left( 3\right) E=F\oplus F^{\perp }\text{ }(\text{ ou }E=F\overset{\bot }{% \oplus }F^{\perp })\\ &&\left( 4\right) F^{\perp }\text{ est l'unique supplémentaire de }F\text{ orthogonale à }F.\text{ } \end{eqnarray*}\]