Expression matricielle d'une forme bilinéaire
Fondamental :
Pour tout x, y de E \[\begin{equation*} x=\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\;y=\sum_{j=1}^{n}y_{j}e_{j}. \end{equation*}\]
Posons X, Y les matrices colonnes des coordonnées de x et y
\[\begin{equation*} X=\left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}% \end{array}% \right] ,Y=\left[ \begin{array}{c} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n}% \end{array}% \right] , \end{equation*}\] d'où on a
\[\begin{eqnarray*} b(x,y)&=& b\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\sum_{j=1}^{n}y_{j}e_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}b\left(e_{i},\sum_{j=1}^{n}y_{j}e_{j}\right)\ (lin\acute{e}arit\acute{e}\text{ }par\text{ }rapport\text{ }\grave{a}% \text{ }x) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}b(e_{i},e_{j})\ \ \ (lin\acute{e}arit\acute{e}\text{ }par\text{ }rapport\text{ }\grave{a}% \text{ }y) \\ &=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}b(e_{i},e_{j}). \end{eqnarray*}\]
Si on suppose \[b(e_{i},e_{j})=a_{ij}\] on obtient
\[\begin{equation} b(x,y)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j}. \label{1} \end{equation}\]
La matrice \[M=\left[ a_{ij}\right] _{1\leq i,j\leq n}\] est appelée la matrice associée à la forme bilinéaire b.
L’expression (1) s’écrit sous la forme matricielle suivante
\[\begin{eqnarray*} b(x,y) &=&\left[ \begin{array}{ccc} x_{1} & \cdots & x_{n}% \end{array}% \right] \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}% \end{array}% \right) \left[ \begin{array}{c} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n}% \end{array}% \right], \end{eqnarray*} \]
d’où : \[\begin{equation*} b(x,y)=^{t}XMY \end{equation*}\]
Remarque : Remarque 2.1
Si b est symétrique alors \[\begin{equation*} b(e_{i},e_{j})=b(e_{j},e_{i}). \end{equation*}\] donc \[\begin{equation*} a_{ij}=a_{ji}. \end{equation*}\] Donc M est une matrice symétrique.
Dans l’autre sens si M est une matrice symétrique dans \[M_{n}(K)\] alors l’application b définie par \[\begin{equation*} b(x,y)=^{t}XMY \end{equation*}\]
telles que X, Y sont des matrices colonnes des coordonnées de x et y respectivement dans la base B est une forme bilinéaire symétrique.
Exemple : Exemple 2.2
La matrice \[M=\left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 1 & -2% \end{array}% \right)\] définie sur \[\mathbb{R}^{2}\] la forme bilinéaire symétrique suivante
\[\begin{equation*} b(x,y)=^{t}XMY \end{equation*}\]
\[\begin{eqnarray*} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b(x,y) &=&\left( x_{1}\quad x_{2}\right) \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 1 & -2% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2}% \end{array}% \right) \\ \ \ \ \ b(x,y) &=&3x_{1}y_{1}-2x_{2}y_{2}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}. \end{eqnarray*} \]
2. Soit la forme bilinéaire suivante
\[\begin{equation*} b(x,y)=x_{1}y_{1}+5x_{2}y_{2}-3x_{1}y_{2}-3x_{2}y_{1}, \end{equation*}\]
\[\begin{equation*} M=\left[ a_{ij}\right] _{1\leq i,j\leq 2}=\left[ b(e_{i},e_{j})\right] _{1\leq i,j\leq 2}, \end{equation*}\]
où \[B=(e_{1},...,e_{n})\] est la base canonique de \[\mathbb{R}^{2}\]
On a \[\begin{equation*} M=\left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -3 & 5% \end{array}% \right) . \end{equation*}\]
En effet
\[\begin{eqnarray*} a_{11} &=&b(e_{1},e_{1})=b((1,0),(1,0))=1, \\ a_{12} &=&b(e_{1},e_{2})=b((1,0),(0,1))=-3, \\ a_{21} &=&b(e_{2},e_{1})=b((0,1),(1,0))=-3, \\ a_{22} &=&b(e_{2},e_{2})=b((0,1),(0,1))=5. \end{eqnarray*}\]
On peut calculer la matrice de b par une autre méthode plus pratique
\[\begin{eqnarray*} b(x,y) &=&x_{1}y_{1}+5x_{2}y_{2}-3x_{1}y_{2}-3x_{2}y_{1} \\ &=&x_{1}\left( y_{1}-3y_{2}\right) +x_{2}\left( 5y_{2}-3y_{1}\right) \\ &=&\left( x_{1}x_{2}\right) \left( \begin{array}{c} y_{1}-3y_{2} \\ -3y_{1}+5y_{2}% \end{array}% \right) \\ &=&\left( x_{1}x_{2}\right) \left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -3 & 5% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2}% \end{array}% \right) \\ &=&^{t}XMY, \end{eqnarray*}\]
d’où \[\begin{equation*} M=\left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -3 & 5% \end{array}% \right) . \end{equation*}\]