Noyau et rang d’une forme bilinéaire
Définition : Définition 2.3
Soit \[b:E\times E\rightarrow K \] une forme bilinéaire symétrique ou alternée.
On appelle le noyau de b l’ensemble
\[\begin{eqnarray*} \ker \left( b\right) &=&\{x\in E,\forall y\in E:b(x,y)=0\} \\ &=&\left\{ x\in E,\text{ }\forall y\in E:\text{ }b(y,x)=0\right\} \end{eqnarray*}\]
Définition : Définition 2.4
Le rang d’une forme bilinéaire symétrique ou alternée noté rg (b) est le rang de sa matrice associée dans une base quelconque.
Fondamental : Proposition 2.4
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n, b une forme bilinéaire symétrique ou alternée et B une base de E. Soit A = \[M_{B}(b)\] la matrice associée à la forme bilinéaire b dans la base B. Alors
\[\begin{eqnarray*} \dim \ker \left( b\right) &=&n-rg\left( b\right) \\ &=&n-rg\left( A\right) . \end{eqnarray*}\]
Définition : Définition 2.5
Une forme bilinéaire b sur E est dite non dégénérée (ou régulière) si \[\begin{equation*} \ker b=\left\{ 0\right\} . \end{equation*}\]
Elle est dite dégénérée si \[\begin{equation*} ker b\neq \left\{ 0\right\} . \end{equation*}\]