Orthogonalité
Définition : Définition 2.7
Soient x, y deux vecteurs de E, on dit que x est b-orthogonal à y (ou orthogonal par rapport à b) si b(x, y) = 0. On note \[x\perp _{b}y\] si pas d’ambiguïté \[x\perp y\].
Remarque : Remarque 2.4
1. Si b est symétrique ou alternée la relation d'orthogonalité est symétrique ( \[x\perp y\Rightarrow y\perp x\] ).
2. Si x est b-orthogonal à y1, . . ., yr alors x est b-orthogonal à toute combinaison linéaire des yi.
3. Les éléments de ker (b) sont b-orthogonaux à tout élément de E.
Définition : Définition 2.8 (Base orthogonale)
Une base \[B=(e_{1},...,e_{n})\] de E est dite b-orthogonale si et seulement si pour tout i, j de [1, n], i ≠ j, b(ei, ej) = 0. c-à-d. les vecteurs de B sont deux à deux b-orthogonaux.
Elle est dite b-orthonormée si et seulement si
\[b(e_{i},e_{j})=\delta _{ij}=\left\{ \begin{array}{c} 1,\quad si\text{ }i=j \\ 0,\quad si\text{ \ }i\neq j% \end{array}% \right.\]
Définition : Définition 2.9 (Orthogonal d’un sous-espace vectoriel)
Soit b une forme bilinéaire symétrique ou alternée sur E et F ⊂ E un sous-espace vectoriel de E. L’orthogonal de F est l’ensemble \[\begin{equation*} F^{\perp }=\left\{ x\in E,\text{ }\forall y\in F,b(x,y)=0\right\} . \end{equation*}\]
Remarque : Remarque 2.4
Dans la pratique, pour calculer l'orthogonale de F on donne successivement comme valeurs à y les éléments d’une base de F, ce qui aboutit à un système d’équations à résoudre.
Si b est une forme bilinéaire ni symétrique ni antisymétrique, on définit l'orthogonale de F par rapport à b à gauche et à droite comme suit
\[\begin{eqnarray*} F_{g}^{\perp } &=&\left\{ x\in E,\text{ }\forall y\in F,b(x,y)=0\right\} , \\ F_{d}^{\perp } &=&\left\{ x\in E,\text{ }\forall y\in F,b(y,x)=0\right\}. \end{eqnarray*}\]
Si b une forme bilinéaire symétrique ou alternée sur E, alors \[\ker\left( b\right)=E^{\perp}\].
Définition : Définition 2.10
Soient A, B ⊂ E, on dit que A et B sont b-orthogonaux et on note \[A\perp B\] si et seulement si \[\begin{equation*} \forall x\in A,\forall y\in B,\text{ }b\left( x,y\right) =0 \end{equation*}\].
Fondamental : Proposition 2. 6
Soient E un K-espace vectoriel, b une forme bilinéaire symétrique sur E, A et B deux parties non vides de E. On note par vect(A) le sous-espace vectoriel de E engendré par A. On a les propriétés suivantes :
Si A ⊂ B alors \[B^{\perp }\subset A^{\perp }\] .
L'orthogonale de A est un sous-espace vectoriel de E.
\[A^{\perp }=(vect(A))^{^{\perp }}\]
Soient A, B deux sous-espaces vectoriels de E alors \[\begin{equation*} \left(A+B\right)^{\perp}=A^{\perp}\cap B^{\perp}. \end{equation*}\]
Soit A un sous espace vectoriel de E, \[A\subset \left( A^{\perp }\right) ^{^{^{\perp }}}\].
Preuve : Laisser comme exercice.
Définition : Définition 2.11 (Vecteur isotrope)
On appelle vecteur isotrope tout vecteur orthogonal à lui même, c-à-d. x de E est un vecteur isotrope ssi b(x,x)=0.
Définition : Définition 2.12
Une forme bilinéaire b sur E est dite positive si pour tout x de E, b(x, x) ≥ 0.
Elle est dite définie si pour tout \[x\in E,b(x,x)=0\Rightarrow x=0\].
Elle est dite définie positive si elle est positive et définie, c. à. d. pour tout x de E-{0}, b(x, x) > 0.
Fondamental : Proposition 2.7
Une forme bilinéaire symétrique et positive est non dégénérée ssi pour tout \[x\in E,b(x,x)=0\Rightarrow x=0\].
Preuve : Soit b une forme bilinéaire symétrique, positive et non dégénérée et soit x de E : b(x, x) = 0, on a
\[\begin{equation*} \forall \lambda \in K,\forall y\in E,b(\lambda x+y,\lambda x+y)\geq 0, \end{equation*}\]
d'où
\[\begin{equation*} \lambda ^{2}b(x,x)+2\lambda b(x,y)+b(y,y)\geq 0, \end{equation*} \]
alors
\[\begin{equation} 2\lambda b(x,y)+b(y,y)\geq 0, \label{2} \end{equation}\]
on a \[\forall y\in E,b(y,y)\geq 0\], pour que (1) soit vraie pour tout λ de K et tout y de E, il faut que b(x, y) = 0, donc \[\begin{equation*} \begin{array}{c} \forall y\in E,b(x,y)=0\Longrightarrow x\in E^{\perp }=\ker \left( b\right) =\left\{ 0\right\} \\ ~\Longrightarrow x=0.% \end{array}% \end{equation*}\]
La réciproque : Supposons que pour tout \[x\in E,b(x,x)=0\Rightarrow x=0\] et montrons que b est non dégénérée \[\begin{equation*} \begin{array}{c} \forall x\in \ker \left( b\right) \Longrightarrow \forall y\in E,b(x,y)=0 \\ \qquad \Longrightarrow b(x,x)=0 \\ \Longrightarrow x=0 \\ \qquad \qquad \Longrightarrow \ker \left( b\right) =\left\{ 0\right\} ,% \end{array}% \end{equation*}\]
d'où b est non dégénérée.
Complément : Corollaire 2.1
Toute forme bilinéaire symétrique définie positive est non dégénérée.
Preuve : On a
\[\begin{equation*} \begin{array}{c} \forall x\in \ker \left(b\right)\Longrightarrow \forall y\in E,\quad b(x,y)=0 \\ \qquad \qquad \qquad \quad \Longrightarrow b(x,x)=0,\;pour\; y=x \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\Longrightarrow x=0,\;car \;si\; x\neq 0,b(x,x)>0 \\ \qquad \quad \Longrightarrow \ker \left(b\right) =\left\{ 0\right\} .% \end{array}% \end{equation*}\]
D'où b est non dégénérée.
Exemple : Exercice
Dans \[E=\mathbb{R}_{2}[X]\], l’espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, on considère l’application \[b:E\times E\rightarrow \mathbb{R}\] définie par : \[\begin{equation*} b(P,Q)=\int\limits_{0}^{1}P(t).Q^{\prime }(t)dt. \end{equation*}\]
Justifier que b est une forme bilinéaire sur E.
Déterminer la matrice M représentant b dans la base canonique \[B_{0}=(1,X,X^{2})\] de E.
Quel est le rang de b ?
b est-elle symétrique ? antisymétrique ? Déterminer la partie symétrique M1 et la partie antisymétrique M2 de M = mat(b, B0).
A-t-on b(P, P) ≥ 0 pour tout polynôme P? à quelle condition sur P a-t-on b(P, P) = 0?