Définitions
Définition : Définition 2.1
Une application
\[\begin{equation*} \begin{array}{c} b:E\times E\rightarrow K \\ \qquad \quad (x,y)\mapsto b(x,y)% \end{array}% \end{equation*}\]
est dite forme bilinéaire lorsqu’elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables, c’est à dire :
– Pour tout y de E fixé, l’application \[x\mapsto b(x,y)\] est linéaire,
– Pour x de E fixé, l’application \[y\mapsto b(x,y)\] est linéaire.
Autrement dit, pour tout \[x,y,z\in E,\alpha _{1},\alpha _{2},\beta_{1},\beta _{2}\in K\]
\[\begin{eqnarray*} b(\alpha _{1}x+\beta _{1}y,z) &=&\alpha _{1}b(x,z)+\beta _{1}b(y,z). \\ &&et \\ b(x,\alpha _{2}y+\beta _{2}z) &=&\alpha _{2}b(x,y)+\beta _{2}b(x,z). \end{eqnarray*}\]
Définition : Définition 2.2
Soit \[b:E\times E\rightarrow K \] une forme bilinéaire sur E. On dit que :
b est symétrique si pour tout x, y de E \[\begin{equation*} b(x,y)=b(y,x). \end{equation*}\]
b est antisymétrique si pour tout x, y de E \[\begin{equation*} b(x,y)=-b(y,x). \end{equation*}\]
b est alternée si pour tout x de E \[\begin{equation*} b(x,x)=0. \end{equation*}\]
Fondamental : Proposition 2.1
Toute forme bilinéaire alternée sur E est antisymétrique.
La réciproque est vraie si car(K)≠2. (car(K)=Caractéristique de K)
Fondamental : Preuve
Supposons que b est alternée, d’où on a
\[\begin{equation*} b(x+y,x+y)=b(x,y)+b(y,x)+b(x,x)+b(y,y), \end{equation*} \]
d'où
\[\begin{eqnarray*} b(x,y)+b(y,x) &=&b(x+y,x+y)-b(x,x)-b(y,y) \\ \ \ \ &=&0. \end{eqnarray*}\]
Donc
\[\begin{equation*} b(x,y)=-b(y,x). \end{equation*}\] Alors b est antisymétrique.
Réciproquement, supposons que b est antisymétrique et car(K) ≠ 2 d’où on a
\[\begin{eqnarray*} 2b(x,x)\ &=&\ b(x,x)+b(x,x) \\ &=&\ -b(x,x)+b(x,x) \\ \ &=&0 \end{eqnarray*}\]
Ceci implique que \[\begin{equation*} b(x,x)=0. \end{equation*}\]
Complément : Notation
On note par L2(E) l’ensemble des formes bilinéaires sur E, par S2(E) l’ensemble des formes bilinéaires symétriques sur E et par A2(E) l’ensemble des formes bilinéaires antisymétriques sur E.
Exemple : Exemple 2.1
Soient \[E=\mathbb{R}^{2},x=(x_{1},x_{2}),y=(y_{1},y_{2})\in E\] et soit l'application \[b:E\times E\rightarrow \mathbb{R}\] telle que
\[\begin{equation*} b(x,y)=x_{1}y_{1}+5x_{2}y_{2}-3x_{1}y_{2}-3x_{2}y_{1}, \end{equation*} $b$\; est\; une\; forme\; bilinéaire\; symétrique.\]
2. \[E=\mathbb{R}^{n},\; le\; produit\; scalaire\; canonique\; \langle x,y\rangle =\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\] est une forme bilinéaire symétrique.
3. Soit E = C([0; 1], R) l’espace des applications continues de [0, 1] dans R, l'application
\[\begin{equation*} \begin{array}{c} b:E\times E\rightarrow \mathbb{R}\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (f,g)\mapsto b(f,g)=\int_{0}^{1}f(t)g(t)dt% \end{array}% \end{equation*}\]
est une forme bilinéaire symétrique.
Fondamental : Proposition 2.2
L’ensemble L2(E) muni de la lois interne (+) telle que :
\[\begin{equation*} (b_{1}+b_{2})(x,y)=b_{1}(x,y)+b_{2}(x,y), \end{equation*}\]
et de la multiplication par un scalaire (.) (lois externe) telle que
\[\begin{equation*} (\lambda .b)(x,y)=\lambda .b(x,y),\lambda \in K \end{equation*}% est\, un\, K-espace\, vectoriel.\]
L’ensemble S2(E) est un sous espace vectoriel de L2(E).
Fondamental : Proposition 2.3
\[S_{2}(E)\; et\; A_{2}(E)\] sont deux supplémentaires de \[L_{2}(E) \]. c-à-d. \[L_{2}(E)=S_{2}(E)\oplus A_{2}(E).\]