Formes quadratiques
Définition : Définition 4.1
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel et \(q:E\rightarrow K\). On dit que \(q\) est une forme quadratique sur \(E\) s'il existe une forme bilinéaire symétrique \(b\) sur \(E\) telle que pour tout \(x\in E\), \(q(x)=b(x,x).\) On dit que \(q\) est la forme quadratique associée à \(b\) et \(b\) la forme polaire de \(q\). On note \(Q(E)\) l'ensemble des formes quadratiques sur \(E\).
Nous avons une surjection naturelle
\(S_{2}\left( E\right) \rightarrow Q(E)\)
et aussi \(L_{2}\left( E\right) \rightarrow Q(E)\).
Exemple : Exemple 4.1
La fonction \[\begin{eqnarray*} \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R} \\ x &\mapsto &x^{2} \end{eqnarray*}\] est la forme quadratique sur \(\mathbb{R}\) associée à la forme bilinéaire \[\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\times \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R} \\ \left( x,y\right) &\mapsto &xy. \end{eqnarray*}\]
L’application \[\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{2} &\rightarrow &\mathbb{R} \\ x &\mapsto &x_{1}^{2}+5x_{2}^{2}-6x_{1}x_{2} \end{eqnarray*}\] est la forme quadratique sur \(\mathbb{R}^{2}\) associée à la forme bilinéaire \[\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{2} &\rightarrow & \mathbb{R} \\ \left( x,y\right) &\mapsto &x_{1}y_{1}+5x_{2}y_{2}-3x_{1}y_{2}-3x_{2}y_{1}. \end{eqnarray*}\].
La fonction \[\begin{eqnarray*} C\left( \left[ 0,1\right],\mathbb{R}\right) &\rightarrow &\mathbb{R} \\ f &\mapsto &\int_{0}^{1}f^{2}\left( t\right) dt \end{eqnarray*}\] est la forme quadratique sur \(C\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}\right)\) associée à la forme bilinéaire \[\begin{eqnarray*} C\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}\right) \times C\left(\left[ 0,1\right],\mathbb{R}\right) &\rightarrow &\mathbb{R} \\ \left( f,g\right) &\mapsto &\int_{0}^{1}f\left( t\right) g(t)dt. \end{eqnarray*}\]
La fonction \[\begin{eqnarray*} M_{n}\left( K\right) &\rightarrow &\mathbb{R} \\ M &\mapsto &Tr\left( M^{2}\right) \end{eqnarray*}\] est la forme quadratique sur \(M_{n}\left( K\right)\) associée à la forme bilinéaire \[\begin{eqnarray*} M_{n}\left( K\right) \times M_{n}\left( K\right) &\rightarrow &\mathbb{R} \\ \left( M,N\right) &\mapsto &Tr\left( MN\right) \end{eqnarray*}\].
Fondamental : Proposition 4.1 (Identités remarquables)
Soit \(b\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\), \(q\) la forme quadratique associée à \(b\), on a pour tout \(x, y \in E\)
1) \(q(\lambda x)=\lambda ^{2}q(x),\ \ \forall \lambda \in K\)
2) \(q(x+y)=q(x)+q(y)+2b(x,y)\)
3) \(b(x,y)=\frac{1}{2}\left[ q(x+y)-q(x)-q(y)\right]\).
Preuve :
1) On a \(\begin{eqnarray*} q(\lambda x) &=&b(\lambda x,\lambda x)=\lambda b(x,\lambda x) \\ &=&\lambda ^{2}b(x,x)=\lambda ^{2}q(x)\end{eqnarray*}\).
2) \(\begin{eqnarray*} q(x+y) &=&b(x+y,x+y) \\ &=&b(x,x)+b(y,y)+b(x,y)+b(y,x) \\ &=&q(x)+q(y)+2b(x,y) \end{eqnarray*}\) (car \(b\) est symétrique).
3) De 2) on a \(\begin{equation*} 2b(x,y)=q(x+y)-q(x)-q(y)\Leftrightarrow b(x,y)=\frac{1}{2}[q(x+y)-q(x)-q(y)]. \end{equation*}\)
Fondamental : Proposition 4.2
Si \(q\) est un forme quadratique sur \(E\), alors il existe une unique forme bilinéaire symétrique sur \(E\) associée à \(q\) qu'on appelle forme polaire de \(q\) définie par
\(b(x,y)=\frac{1}{2}[q(x+y)-q(x)-q(y)]\).
Preuve :
La forme quadratique \(q\) est d´définie par \(q(x)=b_{0}(x,x),\;x\in E\), où \(b_{0}\) est une forme bilinéaire sur \(E\).
L'application \(b\) définie sur \(E\times \ E\) par \(b(x,y)=\frac{1}{2}(b_{0}(x,y)+b_{0}(y,x))\) est bilinéaire et symétrique avec \(b(x,x)=q(x)\) pour tout \(x\in E\), ce qui prouve l'existence de \(b\). Comme \(b\) est bilinéaire symétrique, on a pour tout \(x,y\in E\) \(b(x,y)=\frac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y))\) (d'après la proposition précédente),
d'où \(b\) existe et elle est unique.
Exemple : Exemple 4.2
Soit la forme quadratique $q$ d\'{e}finie par :
\(\begin{eqnarray*} q &:&\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \\ q(x) &=&2x_{1}^{2}+5x_{2}^{2}-4x_{1}x_{2}, \end{eqnarray*}\),
tel que \(x=(x_{1},x_{2})\). Sa forme polaire est \(\begin{eqnarray*} b(x,y) &=&\frac{1}{2}[q(x+y)-q(x)-q(y)] \\ &=&2x_{1}y_{1}+5x_{2}y_{2}-2x_{1}y_{2}-2x_{2}y_{1} \end{eqnarray*}\).
Complément : Remarque 4.1
Quand la forme quadratique est donnée par un polynôme homogène de degré deux, la forme polaire \(b\) s'obtient en polarisant chaque monôme de ce polynôme.
Un monôme de la forme \((a_{ii}x_{i}^{2})\) est polarisé en \(\left( a_{ii}x_{i}y_{i}\right)\) et un monôme de la forme \(\left( a_{ij}x_{i}x_{j}\right)\) est polarisé en \(\frac{a_{ij}}{2}\left( x_{i}y_{j}+x_{j}y_{i}\right)\).
Exemple : Exemple 4.3
1) Dans l'exemple 4.1 on a
\(\begin{eqnarray*} b(x,y) &=&2x_{1}y_{1}+5x_{2}y_{2}-\frac{4}{2}\left( x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right) \\ &=&2x_{1}y_{1}+5x_{2}y_{2}-2x_{1}y_{2}-2x_{2}y_{1} \end{eqnarray*}\)
2) La forme quadratique \(\begin{eqnarray*} q &:&\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \\ q(x) &=&7x_{1}^{2}+6x_{1}x_{2}+5x_{2}x_{3}, \end{eqnarray*}\)
se polarise en
\(\begin{eqnarray*} b &:&\mathbb{R}^{3}\times \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \\ b(x,y) &=&7x_{1}y_{1}+3x_{1}y_{2}+3x_{2}y_{1}+\frac{5}{2}x_{2}y_{3}+\frac{5}{ 2}x_{3}y_{2}. \end{eqnarray*}\)