Matrice d’une forme quadratique
Définition : Définition 4.2
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), \((e_{i})\) une base de \(E\), \(b\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) et \(q\) une forme quadratique associée à \(b\). La matrice \(M_{B}\left( b\right)\) est aussi appelée matrice de \(q\) dans la base \(B\), c-à-d. \(M_{B}\left( q\right) =M_{B}\left( b\right)\), d'où on a pour tout \(x\in E\)
\(q(x)=b(x,x)=^{t}XMX\), où \(X\) est la matrice colonne des coordonnées de \(x\).
On déduit que
\(\begin{eqnarray*} q(x) &=&\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} \\ &=&\sum_{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+2\sum_{1\leq i<j\leq n}^{{}}a_{ij}x_{i}x_{j} \end{eqnarray*}\). Si on écrit l'expression précédente sous la forme
\(q(x)=\sum_{i=1}^{n}c_{ii}x_{i}^{2}+\sum_{1\leq i<j\leq n}^{{}}c_{ij}x_{i}x_{j},\text{ o\`{u} }c_{ii}=a_{ii}\text{ et }c_{ij}=2a_{ij}\).
D'où on a
\[\begin{equation*} M_{B}\left(q\right)=\left( \begin{array}{cccc} c_{11} & \frac{c_{12}}{2} & \cdots & \frac{c_{1n}}{2} \\ \frac{c_{12}}{2} & c_{22} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \frac{c_{n-1,n}}{2} \\ \frac{c_{1n}}{2} & \cdots & \frac{c_{n-1,n}}{2} & c_{nn}% \end{array}% \right) \end{equation*}\]
qui est une matrice symétrique.
Exemple : Exemple 4.4
Soit la forme quadratique
\(q:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}\), où \(q(x)=x_{1}^{2}+7x_{2}^{2}+6x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+3x_{2}x_{3}\), on a
\[\begin{equation*} M=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & -1 \\ 3 & 7 & \frac{3}{2} \\ -1 & \frac{3}{2} & 0% \end{array}% \right) . \end{equation*}\]
Complément : Remarque 4.2
Soit \(q\) une forme quadratique donnée et \(b\) sa forme polaire, on a les résultats suivants
1) Si \(q\) est une forme quadratique donnée par \(q(x)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+2\sum_{1\leq i<j\leq n}^{{}}a_{ij}x_{i}x_{j}\), alors sa forme polaire est donnée par \(b(x,y)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}y_{i}+\sum_{1\leq i<j\leq n}^{{}}a_{ij}\left( x_{i}y_{j}+x_{j}y_{i}\right)\).
2) Une forme quadratique \(q\) est dite non dégénérée quand sa forme polaire \(b\) l'est.
3) On définit le noyau et le rang d'une forme quadratique comme ceux de sa forme polaire. C-à-d. \(\ker \left( q\right) =\ker \left( b\right) ,rang\left( q\right) =rang\left( b\right)\).
4) On dit que \(x\in E\) est isotope par rapport à \(q\) si \(q(x)=0\).
5) L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel de \(E\) par rapport à \(q\) est son orthogonal par rapport à \(b\).
Exemple : Exemple 4.5
Soit la forme quadratique: \(q:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\) définie par \(q(x)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\).
\(\lozenge\) La matrice de \(q\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{2}\) est
\[\begin{equation*} M=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1% \end{array}% \right) \end{equation*}\]
\(\lozenge\) La forme polaire de \(q\) est \(b(x,y)=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}\).
\(\lozenge\) Le noyau de \(q\) est
\(\ker \left( q\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}:b(x,y)=0,\forall y\in \mathbb{R}^{2}\right\}\)
\[\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{c} b(x,e_{1})=0 \\ b(x,e_{2})=0% \end{array}% \right. &\Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{c} x_{1}=0 \\ -x_{2}=0% \end{array}% \right. \\ &\Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{c} x_{1}=0 \\ x_{2}=0% \end{array}% \right. \end{eqnarray*}\]
d'où \(\ker (q)=\left\{ 0_{\mathbb{R}^{2}}\right\}\). On déduit que \(q\) est non dégénérée et \(rang(q)=2\).
\(\lozenge\) Les vecteurs isotropes de \(q\) sont les deux droites vectorielles d'équations: \(x_{2}=x_{1}\)$ et \(x_{2}=-x_{1}\).