Exercice
Exercice 1:
1) Déterminer la forme linéaire \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^3\) telle que: \(f(1,1,1)=0, f(2,0,1)=1, f(1,2,3)=4.\)
2) Donner un hyperplan \(H\) de \(\mathbb{R}^3,\) une base de \(\mathbb{R}^3\) et tous ses supplémentaires dans \(\mathbb{R}^3\).
Exercice 2:
Soit E=\(\mathbb{R}^4\), \(F=\left\lbrace (x,y,z,t)\in E : x+y-z+t=0 \right\rbrace\) et \(D=vect\left\lbrace v=(1,1,1) \right\rbrace\)
1) Montrer que \(F\) est un hyperplan de \(E\), déduire sa dimension, une base et tous ses supplémentaires.
2) Montrer que \(F\) et \(D\) sont supplémentaires.
3) Soit \(m\) un réel et \(u=( m, m+1, 2m, m-2)\) un vecteur de \(E\). Pour quelles valeurs de \(m\), les sous-espaces \(F\) et \(D\) sont-ils supplémentaires?
Exercice 3:
1) Montrer que \(B=\left\lbrace v_1=(1,1,0), v_2=(1,0,1), v_3=(0,1,1)\right\rbrace\) est une base pour \(\mathbb{R}^3\) et calculer sa base duale \(B^*\).
2) Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(3\), \((e_1, e_2, e_3)\) une base de \(E\). Soient \(f_1^*, f_2^*, f_3^*\) des formes linéaires sur \(E\) définies par \(f_1^*=2e_1^*+e_2^*+e_3^*, f_2^*=-e_1^*+2e_3^*, f_3^*=e_1^*+3e_2^*\).
Montrer que \((f_1^*, f_2^*, f_3^*)\) est une base de \(E^*\) et déterminer sa base pré-duale \((f_1, f_2, f_3)\) de \(E\).
Exercice 4 : (Supp) Soit \(E=\mathbb{R}_n[X]\) muni de la base \(B=\left( 1, X, ..., X^n \right)\). Pour tout \(i\in [0,n]\), on définit une forme linéaire \(f_i\) sur \(E\) par :
Pour tout
\(\begin{equation*} j\in[0. n], f_i\left( X^j \right)=\delta_{ij}=\left\{ \begin{array}{c}1 \\ 0 \end{array} \begin{array}{c} \text{si }i=j \\ \text{si }i\neq j \end{array} \right. \end{equation*}\)
1) Montrer que \((f_0, f_1, . . ., f_n)\) est une base de \(E^*\).
2) On considère \(\phi, \psi\) de \(E^{\ast }\) définies par : \(\begin{equation} \forall P\in E,\quad \phi (P)=P(1),\quad \psi(P)=P\prime (0). \end{equation}\).
Déterminer les coordonnées de chacune des formes \(\phi\) et \(\psi\) dans la base \((f_{0}, \ldots, f_{n})\).
3) \(\mathbb{R}_{n-1}[X]\) est-il un hyperplan de \(\mathbb{R}_{n}[X]\)? Si oui, en donner tous ses supplémentaires.
4) \(\mathbb{R}^{n-1}\) est-il un hyperplan de \(\mathbb{R}^{n}\)? En déduire une caractérisation des hyperplans de \(\mathbb{R}^{n}\).
Exercice 5 : On considère l’application suivante
\(b: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}, b(x,y)=x_1y_2+2x_2y_1+x_2y_3+5x_3y_2.\)
1. Montrer que \(b\) est une forme bilinéaire.
2. Calculer la matrice de \(b\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3} \), donner son rang et calculer son noyau.
3. \(b\) est-elle non dégénérée?