1. Adjoint d’un endomorphisme dans un espace euclidien
Soient \(E\) un espace euclidien, \(B=(e_1, . . ., e_n)\) une base orthonormée, \(f\) un endomorphisme de \(E\) et \(x,y\) deux vecteurs de \(E\). On pose \[X=mat_{B}\left( x\right),Y=mat_{B}\left( y\right), et\; A=mat_{B}\left( f\right)\]. On a
\[\begin{eqnarray*} \langle f(x),y\rangle &=&^{t}(AX)Y \\ &=&^{t}X\left( ^{t}AY\right) \\ &=&\langle x,f^{\ast }\left( y\right) \rangle , \end{eqnarray*}\]
où \[f^{*}\] est l’endomorphisme de \(E\) défini par \[\begin{equation*} f^{\ast }\left( y\right) =^{t}AY,\text{d'où}\; mat_{B}\left( f^{\ast }\right) =^{t}A. \end{equation*}\]
Ainsi, le transposé de \(A\) revient à définir l’endomorphisme qui permet de commuter \(f\) dans \(<f(x),y>\).
Commuter signifie ici que pour tous \(x,y \in E\) on a \(<f(x),y>=<x,f^{*}(y)\).
On notera que
1. Il n’y a qu’un seul endomorphisme \[f^{*}\] permettant de commuter \(f\) dans \(<f(x),y>\).
2. La matrice de \[f^{*}\] dans une base orthonormée s'obtient en transposant celle de \(f\).
Définition : Définition 3.6
Soient \(E\) un espace euclidien et \(f\in L(E)\). L'adjoint de \(f\) est l'endomorphisme \[f^{*}\] de \(E\) tel que \(<f(x),y>=<x,f^{*}(y)\) pour tout \(x,y \in E\).
Les propriétés de la transposition des matrices se traduisent en termes d’endomorphismes comme suit :
Fondamental : Proposition 3.5
Soient \(E\) un espace euclidien, \(\lambda \in R\) et \(f,g\in L(E)\).
\(f^{\ast \ast }=f\)
\(Id^{\ast }=Id\)
\(\left(f+g\right)^{\ast}=f^{\ast}+g^{\ast}\)
\(\left(\lambda f\right)^{\ast}=\lambda f^{\ast}\)
\(\left(f\circ g\right)^{\ast}=g^{\ast}\circ f^{\ast}\)
\(rang\left(f^{\ast}\right)=rang\left(f\right)\)
\(\det mat_{B}\left(f^{\ast}\right)=\det mat_{B}\left(f\right)\)
On notera que l’application linéaire
\[\begin{eqnarray*} M_{n}\left(\mathbb{R}\right) &\rightarrow &M_{n}\left(\mathbb{R}\right) \\ A &\mapsto &^{t}A \end{eqnarray*}\]
se traduit par l’application linéaire
\[\begin{eqnarray*} L\left( E\right) &\rightarrow &L\left( E\right) \\ f &\mapsto &f^{\ast } \end{eqnarray*}\]
On peut utiliser cette application pour caractériser les endomorphismes orthogonaux.
Fondamental : Proposition 3.6
Soient \(E\) un espace euclidien et \(f\in L(E)\). Alors \(f\) est orthogonal si et seulement si \(f^{-1} = f^{∗}\) (où \(f^{∗}\circ f = Id_{E}\)).
L’endomorphisme orthogonal conserve le produit scalaire, c-`a-d, si pour tous \(x, y\in E\), on a : \(<f(x), f(y)> = <x, y>\), il est appelé aussi une isométrie.
Définition : Définition 3.7
Soit \(E\) un espace euclidien. Un endomorphisme \(f\) de \(E\) est dit normal (relativement au produit scalaire de \(E\)), s’il commute avec son adjoint.
Il s’agit donc d’un endomorphisme \(f\) vérifiant l’égalité \(f^{∗}\circ f = f \circ f^{∗}\). On peut aussi dire que \(f\) est normal si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée quelconque commute avec sa transposée.
Fondamental : Théorème 3.4
Soient \(E\) un espace euclidien, \(f\in L(E)\) et \(F\) un sous-espace de \(E\). Si \(F\) est stable par \(f\), alors \(F^{\bot}\) est stable par \(f^{∗}\).
Preuve :
On suppose que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(f\) , c-`a-d. \(f (F) ⊂ F\).
Soit \(y\in F^{\bot}\), pour tout \(x \in F\), on a \(f(x) \in F\), d’où \(0=\langle f(x),y\rangle =\langle x,f^{\ast }\left( y\right) \rangle\).
Ainsi \(f^{∗}(y)\in F^{\bot}\), d’où \(f^{∗} (F^{\bot}) ⊂ F^{\bot}\), ce qui preuve que \(F^{\bot}\) est stable par \(f^{∗}\).
Fondamental : Lemme 3.1
Soit \(f\) un endomorphisme quelconque d’un espace euclidien \(E\), et soit \(F\) un sous-espace de \(E\). Si \(F\) est stable par \(f\) et par \(f^{∗}\), il en est de même de \(F^{\bot}\).
Preuve :
Si \(y\in F^{\bot}\), on a pour tout \(x\in F\),
\(\langle f(y),x\rangle =\langle y,f^{\ast }(x)\rangle =0\), ce qui montre que \(F^{\bot}\) est stable par \(f^{∗}\).
Fondamental : Lemme 3.2
Si l’endomorphisme \(f\) de l’espace euclidien \(E\) est normal, alors \(f\) et \(f^{∗}\) ont les mêmes valeurs propres, et pour chaque valeur propre, ils ont le même sous-espace propre.
Preuve :
En effet, soit \(\lambda\) une valeur propre de \(f\). Le sous-espace propre correspondant \(E_{\lambda}\) est le noyau de \(f - \lambda Id\). Il est donc stable par \(f\) et par \(f^{∗}\). Pour tous \(x\) et \(y\) dans \(E_{\lambda}\), on a :
\(\langle x,f^{\ast }(y)\rangle =\langle f(x),y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle x,\lambda y\rangle\),
ce qui montre que \(f^{\ast }(y)=\lambda y\) pour tout \(y\) de \(E_{\lambda}\). \(E_{\lambda}\) est donc contenu dans le sous-espace propre de \(f^{\ast }\) pour la valeur propre \(\lambda\). En permutant les rôles de \(f\) et \(f^{\ast }\), on voit qu’il lui est égal.