2. Endomorphisme auto-adjoint
Soient \(E\) un espace euclidien et \(f \in L(E)\).
Définition : Définition 3.8
On dit que \(f\) est un endomorphisme auto-adjoint ou symétrique ssi \(f = f^{∗}\) ou \(\langle f(x),y\rangle =\langle x,f\left( y\right) \rangle\).
Fondamental : Proposition 3.7
1) \(f\) est auto-adjoint ssi il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle sa matrice est symétrique.
2) \(f\) est auto-adjoint ssi dans toute base orthonormée de \(E\) sa matrice est symétrique.
Preuve :
Soit \(B\) une base orthonormée de \(E, f\in L(E)\) et \(A = mat_{B} (f)\).
Si \(f\) est symétrique (auto-adjoint) on a \(f = f^{∗}\) et \(^{t}A = A\), donc \(A\) est symétrique.
Réciproquement : Si \(A \in S_{n} (R)\) matrice symétrique, en notant \(X = mat_{B} (x), Y =matmat_{B} (y)\), pour tout \(x, y \in E\) on a \(\langle f(x),y \rangle =^{t}\left( AX\right) Y=^{t}X\left( ^{t}AY\right) =^{t}X\left( AY\right) =\langle x,f(y)\rangle\), d'où \(f = f^{∗}\), \(f\) est auto-adjoint.
Exemple : Exercice
Soit \(E = R_n [X]\). On pose :
\(\forall \left( P,Q\right) \in E^{2},\langle P,Q\rangle =\int_{-1}^{1}\left( 1-x^{2}\right) P(x)Q(x)dx\).
Montrer que \(\langle .,.\rangle\) est un produit scalaire sur \(E\).
On pose : \(\forall P\in E,\phi \left( P\right) =\left( \left( x^{2}-1\right) P\right) ^{\prime \prime }\).
Montrer que \(\phi\) est un endomorphisme symétrique de \((E,\langle .,.\rangle )\).