CHAPITRE 5 : FORMES HERMITIENNES

Soit \(F\) un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel. On dit qu'une application \(f:E\rightarrow F\) est semi linéaire (ou anti linéaire}) si et seulement si : pour tout \(x,y\in E\),\(\lambda \in \mathbb{C}\)

i) \(f\left( x+y\right) =f(x)+f(y)\)

ii) \(f\left( \lambda x\right) =\overset{-}{\lambda }f(x)\)

On dit qu'une application \(h:E\times E\rightarrow \mathbb{C}\) est une forme sesquilinéaire sur \(E\) si et seulement si :

i ) \(h\) est linéaire par rapport à la première variable

ii ) \(h\) est semi linéaire par rapport à la deuxième variable

C-à-d. : \(\forall x,x^{\prime },y,y^{\prime }\in E,\forall \lambda\in \mathbb{C}\)

\(\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{c} h\left( \lambda x+x^{\prime },y\right) =\lambda h(x,y)+h(x^{\prime },y) \\ h\left( x,\lambda y+y^{\prime }\right) =\overset{-}{\lambda }h(x,y)+h\left( x,y^{\prime }\right) \end{array} \right. \end{eqnarray*}\).

On dit qu’une forme sesquilinéaire \(h\) sur \(E\) est une forme hermitienne sur \(E\) ssi \(h\) a la propriété de " symétrie hermitienne"

c-`a-d. pour tout \(x, y \in E\), \(h(y,x)=\overline{h(x,y)}\).

On déduit de la symétrie hermitienne de \(h\) que pour tout \(x\in E,h(x,x)=\overline{h(x,x)}\), d'où \(h(x,x)\in \mathbb{R}\).

Soit \(h\) une forme hermitienne sur un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(E\).

On dit que l'application \(Q:E\rightarrow \mathbb{R},\: Q\left( x\right) =h(x,x)\) est une forme quadratique hermitienne sur \(E\).

D’après le lemme qui suit, \(h\) est entièrement déterminée par \(Q\), et l’on dit que \(h\) est la forme polaire de \(Q\). Notons

aussi que pour tout \(\lambda \in \mathbb{C}\), on a

\(Q(\lambda x)=h\left( \lambda x,\lambda x\right) =\lambda h\left( x,\lambda x\right) =\lambda \overset{-}{\lambda }h\left( x,x\right) =\lambda \overset{- }{\lambda }Q(x)=\left\vert \lambda \right\vert ^{2}Q(x)\),

où \(\left\vert \lambda \right\vert\) est le module (ou la norme) de \(\lambda \in \mathbb{C}\).

Une matrice \(A\in M_{n}(\mathbb{C})\) est hermitienne si \(^{t}A=\overline{A}\).

On note \(MH_{n}(\mathbb{C})\) l'ensemble de ces matrices, si \(A,B\in MH_{n}(\mathbb{C})\) et \(s,t\in \mathbb{R}\), alors \(sA+tB\in MH_{n}(\mathbb{C})\), donc \(MH_{n}(\mathbb{C})\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel (mais pas un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel).

Observons que si \(A\in MH_{n}(\mathbb{C})\), ses coefficients diagonaux \(a_{ii}\) vérifient \(a_{ii}=\overline{a_{ii}}\) donc \(a_{ii}\in \mathbb{R}\).

Soit \(h\) une forme hermitienne sur un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\) et soit \(B=(e_{1},...,e_{n})\) une base de \(E\).

La matrice \(Mat_{B}(h)\) de \(h\) dans la base \(B\) est la matrice \(A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\in M_{n}( \mathbb{C})\), où \(a_{ij}=h(e_{i},e_{j})\). Comme \(h\left( e_{j},e_{i}\right) =\overline{h\left( e_{i},e_{j}\right) }\) on a \(a_{ji}=\overline{a_{ij}}\), donc \(^{t}A=\overline{A}\), i.e. \(A\in MH_{n}(\mathbb{C})\).

\(h\) est entièrement déterminée par sa matrice \(A\). En effet, d'après la linéarité (resp. semi-linéarité) en la première (resp. deuxième) variable, on a l'égalité :

\(\forall x,y\in E,h(x,y)=h\left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\sum_{j=1}^{n}y_{j}e_{j}\right)\)

\(\qquad \qquad \qquad \qquad =\sum_{i,j=1}^{n}x_{i}\overline{ y_{j}}h\left( e_{i},e_{j}\right) =\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}\overline{y_{j}} \: (*)\)

Donc, si l'on note \(X,Y\) les vecteurs colonnes des coordonnées des vecteurs \(x,y\) respectivement c-à-d.

\[\begin{eqnarray*} X=\left( \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}% \end{array}% \right) \end{eqnarray*}\], \[\begin{eqnarray*} Y=\left( \begin{array}{c} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{array} \right) \end{eqnarray*}\] \(\in \mathbb{C}^n\),

on a la formule matricielle \(h(x,y)=^{t}XA\overline{Y}\).

Réciproquement, pour tout \(A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\in $ $M_{n}(\mathbb{C})\), l'application \(h_{A}:E\times E\rightarrow \mathbb{C}\) définie par

\(h_{A}\left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\sum_{j=1}^{n}y_{j}e_{j}\right) =\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}\overline{y_{j}}\)

est une forme hermitienne sur \(E\), et \(Mat_{B}(h_{A})=A\).

Donc, se donner une forme hermitienne sur \(E\) est la même chose que se donner une matrice hermitienne : de façon précise, l’application

\(\Psi _{B}:H(E)\rightarrow MH_{n}(\mathbb{C}),\:h \mapsto Mat_{B}(h)\)

est un isomorphisme de \(\mathbb{R}\)-espaces vectoriels.

En séparant, d'une part, les termes \(x_{i}\overline{y_{i}}\) et, d'autre part, les termes \(x_{i}\overline{y_{j}}\) avec \(i\neq j\), la formule \((*)\) se récrit de la façon suivante (puisque \(a_{ji}=\overline{a_{ij}}\) pour tout \(i\neq j\))

\(h\left( x,y\right) =\sum_{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}\overline{yi}+\sum_{1\leq i<j\leq n}\left( a_{ij}x_{i}\overline{y_{j}}+\overline{a_{ij}}x_{j}\overline{ y_{i}}\right)\).

En particulier, prenant \(y=x\) (i.e. \(y_{i}=x_{i}\) pour tout \(i\)), on voit que la forme quadratique hermitienne \(Q\) associée à \(h\) est donnée par la formule suivante (noter que \(x_{i}\overline{x_{i}}=\left\vert x_{i}\right\vert ^{2}\)

\(Q(x)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}\left\vert x_{i}\right\vert ^{2}+\sum_{1\leq i<j\leq n}\left( a_{ij}x_{i}\overline{x_{j}}+\overline{a_{ij}}\overline{x_{i} }x_{j}\right) =\sum_{i=1}^{n}a_{ii}\left\vert x_{i}\right\vert ^{2}+\sum_{1\leq i<j\leq n}\Re \left( a_{ij}x_{i}\overline{x_{j}}\right)\).

On voit donc apparaître les carrés des modules des \(x_{i}\), et les parties réelles des doubles produits \(x_{i}\overline{x_{j}}\). Pour abréger, on parlera de «carrés de modules» et de «doubles produits».

Soit \(h\) une forme hermitienne sur un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\) et soit \(B=(e_{1},...,e_{n})\) une base de \(E\).

(1) On définit le rang de \(h\) par \(rang(h)=rang(A)\), où \(A=Mat_{B}(h)\), ceci ne dépend pas du choix de la base \(B\).

(2) On dit que \(h\) est non-dégénérée si \(rang(h)=dimE\), i.e. si sa matrice dans une (et donc dans toute) base de \(E\) est inversible.

Soit \(h\) une forme hermitienne sur un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(E\).

(1) On dit que deux vecteurs \(x, y \in E\) sont orthogonaux (pour \(h\)) si \(h(x, y) = 0\), ceci équivaut à dire que \(h(y,x)=0\) (puisque \(h(y,x)=\overline{h(x,y)}\) et vice-versa). Plus généralement, on dit que deux sous-ensembles \(X,Y\) de \(E\) sont orthogonaux si l'on a \(h(x,y)=0\) pour tout \(x\in X,y\in Y\). On notera \(X\perp Y\) pour signifier que \(X\) et \(Y\) sont orthogonaux.

(2) Pour tout sous-ensemble \(Y\) de \(E\), on définit son orthogonal (relativement a \(h\)), noté \(Y^{\perp}\) par :

\(Y^{\perp }=\left\{ x\in E\mid h(x,y)=0,\forall y\in Y\right\}\),

c'est un sous-espace vectoriel de \(E\) (même si \(Y\) n'en est pas un), de plus, on a les propriétés suivantes :

\(Y\subseteq Z\Rightarrow Z^{\perp }\subseteq Y^{\perp },\quad Y^{\perp }=Vect\left( Y\right) ^{\perp }\)

en particulier, si \(Y=F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et si \((f_{1},...,f_{p})\) est une famille génératrice de \(F\), alors

\(F^{\perp }=\left\{ f_{1},...,f_{p}\right\} ^{\perp }=\left\{ x\in E\mid h(x,f_{i})=0,\quad \forall i=1,...,p\right\}\).

(3) On pose \(\ker \left( h\right) =\left\{ x\in E\mid h(x,y)=0,\forall y\in E\right\}\)

et on l’appelle le noyau de \(h\). On dit que h est non-dégénérée si \(\ker \left( h\right) =\left\{ 0\right\}.\)