4.3.2 Réduction en carrés de Gauss
Fondamental :
Nous donnons ici une autre manière d'établir le théorème de réduction. Cette m´méthode due à Carl Friedrich Gauss est pratique pour les exercices, et permet d’obtenir explicitement et facilement une base orthogonale. Commençons par reformuler le théorème de réduction.
Soit \(q\) une forme quadratique non nulle sur un \(K\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\) muni d’une base \(B = (e_1, e_2, . . ., e_n)\) de sorte que, pour tout \(x=x_{1}e_{1}+...+x_{n}e_{n}\in E\)
\(q(x)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum_{1\leq i<j\leq n}2a_{ij}x_{i}x_{j}\) \((*)\).
La méthode de Gauss consiste à ´écrire \(q\) sous la forme d’une combinaison de carrés de formes linéaires indépendantes \(l_{1},...,l_{n}\) en procèdent par récurrence sur \(n\) : Distinguons deux cas
Premier cas : L'un des \(a_{ii}\) est non nul, par exemple \(a_{11}\neq 0\). Alors on sépare dans \((*)\) les monômes contenant \(x_{1}\) des autres
\(q(x)=a_{11}x_{1}^{2}+x_{1}f\left( x_{2},...,x_{n}\right) +g\left( x_{2},...,x_{n}\right)\),
où \(f\) est une forme linéaire et \(g\) est une forme quadratique en les \(x_{2},...,x_{n}\). On écrit alors
\(\begin{eqnarray*} q(x) &=&a_{11}\left( x_{1}+\frac{f\left( x_{2},...,x_{n}\right) }{2a_{11}} \right) ^{2}-\frac{\left( f\left( x_{2},...,x_{n}\right) \right) ^{2}}{ 4a_{11}}+g\left( x_{2},...,x_{n}\right) \\ &=&a_{11}\left( l_{1}\left( x\right) \right) ^{2}+q^{\prime }(x), \end{eqnarray*}\),
où \(l_{1}\left( x\right) =x_{1}+\frac{f\left( x_{2},...,x_{n}\right) }{ 2a_{11}}\) une forme linéaire et \(q^{\prime }(x)=-\frac{\left( f\left( x_{2},...,x_{n}\right) \right) ^{2}}{4a_{11}}+g\left( x_{2},...,x_{n}\right)\) une forme quadratique en les \(x_{2},...,x_{n}\). On applique le même procédé de récurrence sur \(q^{\prime }(x)\) on obtient des formes linéaires indépendantes de la forme linéaire \(l_{1}\) telles que
\(q(x)=\sum_{i=1}^{r}\alpha _{i}\left( l_{i}(x)\right) ^{2},r\leq n\).
Deuxième cas : Tous les \(a_{ii}\) sont nuls. Dans ce cas \(q(x)\) ne s’écrit qu’avec des rectangles
\(q(x)=\sum_{1\leq i<j\leq n}2a_{ij}x_{i}x_{j}=\sum_{1\leq i<j\leq n}c_{ij}x_{i}x_{j},\text{ o\`{u} }c_{ij}=2a_{ij}\).
Il existe \(i<j\) tel que\( c_{ij\text{ }}\) est non nul et quitte à permuter les indices nous pouvons supposer que \(c_{12}\neq 0\). Décomposons \(q(x)\) selon les termes qui contiennent \(x_{1}\), ceux qui contiennent \(x_{2}\) et les autres :
\(q(x)=c_{12}x_{1}x_{2}+x_{1}f\left( x_{3},...,x_{n}\right) +x_{2}g\left( x_{3},...,x_{n}\right) +h\left( x_{3},...,x_{n}\right)\),
où \(f,g\) sont des formes linéaires et \(h\) est une forme quadratique en les\( x_{3},...,x_{n}\). On écrit alors
\(\begin{eqnarray*} q(x) &=&c_{12}\left( x_{1}x_{2}+\frac{f}{c_{12}}x_{1}+\frac{g}{c_{12}} x_{2}\right) +h \\ &=&c_{12}\left( x_{1}+\frac{g}{c_{12}}\right) \left( x_{2}+\frac{f}{c_{12}} \right) -\frac{fg}{c_{12}}+h. \end{eqnarray*}\).
On utilise l'identité remarquable \(ab=\frac{1}{4}\left[ \left( a+b\right) ^{2}-\left( a-b\right) ^{2}\right]\),
on obtient
\(\begin{eqnarray*} q(x) &=&\frac{c_{12}}{4}\left( x_{1}+x_{2}+\frac{f}{c_{12}}+\frac{g}{c_{12}} \right) ^{2}-\frac{c_{12}}{4}\left( x_{1}-x_{2}+\frac{g}{c_{12}}-\frac{f}{ c_{12}}\right) ^{2}-\frac{fg}{c_{12}}+h \\ &=&\frac{c_{12}}{4}\left( l_{1}\left( x\right) \right) ^{2}-\frac{c_{12}}{4} \left( l_{2}\left( x\right) \right) ^{2}+q^{\prime }(x), \end{eqnarray*}\),
où \(l_{1},l_{2}\) sont deux formes linéaires indépendantes et \(q^{\prime }(x)\) est une forme quadratique en les \(x_{3},...,x_{n}\). On itère le même procédé sur la forme quadratique \(q^{\prime }(x)\) on obtient
\(q(x)=\sum_{i=1}^{r}\alpha _{i}\left( l_{i}(x)\right) ^{2},r\leq n\),
où les \(l_{1},...,l_{r}\) sont des formes linéaires indépendantes et l'entier \(r\leq n\) est le rang de \(q\).
Définition : Définition 4. 3 (Signature d’une forme quadratique)
Si \(K=\mathbb{R}\), il existe une base orthogonale \(B=\left(e_{i}\right)_{1\leq i\leq n}\) où la matrice de \(q\) est diagonale. Soit \(s\) le nombre de coefficients strictement positifs et soit \(t\) le nombre de coefficients strictement négatifs. Le couple \((s,t)\) s'appelle la signature de \(q\) noté \(sgn( q)\). C-à-d. \(s=card\left\{ i\in \left[ 1,n\right] :q(e_{i})>0\right\}\), \(t=card\left\{ i\in \left[ 1,n\right] :q(e_{i})<0\right\}\), et \(r=s+t\) est le rang de \(q\), c-à-d. \(rg(q)=s+t\).
Complément : Remarque 4.3
1. Si \(t=0\), on dit que la forme \(q\) est positive.
2. Si \(s+t=n\), on dit que la forme est non dégénérée.
3. Si \(s=n\), on dit que la forme est définie positive. Dans ce cas, la forme polaire \(b\) est un produit scalaire et l'espace muni de \(b\) est euclidien.
Fondamental : Théorème 4.2 (Loi d’inertie de Sylvester)
La signature \((s,t)\) est un invariant de \(q\), c-à-d. la signature de \(q\) ne dépend pas du choix de la base \(q\)-orthogonale. Autrement dit :
Soit \(q\) une forme quadratique de rang \(r\) sur un espace vectoriel réel \(E\) de dimension finie. Alors, il existe \((e_{1},...,e_{n})\) une base de \(E\), et des entiers \(s\) et \(t\) tels que, pour tout vecteur \(x=x_{1}e_{1}+...+x_{n}e_{n}\) de \(E\), on ait
\(q(x)=x_{1}^{2}+...+x_{s}^{2}-x_{s+1}^{2}-...-x_{s+t}^{2},\quad s+t=r\leq n\). Le couple \((s,t)\) est unique.
Complément : Remarque 4.4
La loi d'inertie de Sylvester est un théorème de classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie.
Sylvester applique ces résultats à la mécanique et analyse l'énergie à transmettre à un solide pour lui donner une vitesse de rotation. C'est ce qu'on désigne par principe d'inertie de Sylvester .
Exemple : Exemple 4.6
Soit la forme quadratique définie sur \(\mathbb{R}^{3}\) par
\(q(x)=x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}-4x_{3}^{2}+6x_{1}x_{2}+8x_{1}x_{3}\).
Donner une réduction en carrés de Gauss de \(q\) et déduire : la signature, le rang, une base \(q\)-orthogonale, son expression et sa matrice dans cette base.
Solution : On a
\(\begin{eqnarray*} q(x) &=&x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}-4x_{3}^{2}+6x_{1}x_{2}+8x_{1}x_{3} \\ &=&\left( x_{1}^{2}+x_{1}\left( 6x_{2}+8x_{3}\right) \right) +3x_{2}^{2}-4x_{3}^{2} \\ &=&\left( x_{1}+3x_{2}+4x_{3}\right) ^{2}-\left( 3x_{2}+4x_{3}\right) ^{2}+3x_{2}^{2}-4x_{3}^{2} \\ &=&\left( x_{1}+3x_{2}+4x_{3}\right) ^{2}-6x_{2}^{2}-20x_{3}^{2}-24x_{2}x_{3} \\ &=&\left( x_{1}+3x_{2}+4x_{3}\right) ^{2}-6\left( x_{2}^{2}+4x_{2}x_{3}\right) -20x_{3}^{2} \\ &=&\left( x_{1}+3x_{2}+4x_{3}\right) ^{2}-6\left( x_{2}+2x_{3}\right) ^{2}+4x_{3}^{2} \end{eqnarray*}\).
Donc, la signature de \(q\) est \(sgn(q)=(2,1)\), et \(rang(q)=3\), ceci implique que
\(\ker (q)=\left\{ 0\right\}\).
D’où cette forme est non dégénérée.
Recherche d’une base \(q\)-orthogonale : On pose
\(\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} x_{1}^{^{\prime }}=x_{1}+3x_{2}+4x_{3} \\ x_{2}^{^{\prime }}=x_{2}+2x_{3} \\ x_{3}^{^{\prime }}=x_{3} \end{array} \right. , \end{equation*}\),
alors
\(\begin{equation*} \ \ \left\{ \begin{array}{l} x_{1}=x_{1}^{^{\prime }}-3x_{2}^{^{\prime }}+2x_{3}^{^{\prime }} \\ x_{2}=x_{2}^{^{\prime }}-2x_{3}^{^{\prime }} \\ x_{3}=x_{3}^{^{\prime }} \end{array} \right. \end{equation*}\).
D'où \(X=PX^{^{\prime }}\), où
\(\begin{equation*} P=\left( \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}\)
est la matrice de passage de la base canonique à la base orthogonale.
\(B^{^{\prime }}=\left\{ u_{1}=\left( 1,0,0\right) ,u_{2}=\left( -3,1,0\right) ,u_{3}=\left( 2,-2,1\right) \right\}\).
L’expression de \(q\) dans \(B_0\) est
\(q(x)=x_{1}^{\prime 2}-6x_{2}^{\prime 2}+4x_{3}^{\prime 2}\),
tel que \(x_{1}^{^{\prime }},x_{2}^{^{\prime }},x_{3}^{^{\prime }}\) sont les coordonnées de \(x\) dans \(B^{\prime }\).
La matrice de \(q\) dans \(B^{^{\prime }}\) est
\(\begin{equation*} \ D=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right) . \end{equation*}\)
Exemple : Exemple 4.7
Soit la forme quadratique définie sur \(\mathbb{R}^{4}\) par \(q(x)=x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+4x_{2}x_{4}+2x_{3}x_{4}\).
Réduction en carrés de Gauss :
\[\begin{eqnarray*} q(x) &=&\left( x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+4x_{2}x_{4}\right) +2x_{3}x_{4} \\ &=&\left[ x_{1}x_{2}+x_{1}\left( 2x_{3}+2x_{4}\right) +x_{2}\left( x_{3}+4x_{4}\right) \right] +2x_{3}x_{4} \\ &=&\left( x_{1}+\left( x_{3}+4x_{4}\right) \right) \left( x_{2}+\left( 2x_{3}+2x_{4}\right) \right) -\left( x_{3}+4x_{4}\right) \left( 2x_{3}+2x_{4}\right) +2x_{3}x_{4} \\ &=&\frac{1}{4}\left( x_{1}+x_{2}+3x_{3}+6x_{4}\right) ^{2}-\frac{1}{4}\left( x_{1}-x_{2}-x_{3}+2x_{4}\right) ^{2}-2\left( x_{3}^{2}+4x_{4}^{2}+4x_{3}x_{4}\right) \\ &=&\frac{1}{4}\left( x_{1}+x_{2}+3x_{3}+6x_{4}\right) ^{2}-\frac{1}{4}\left( x_{1}-x_{2}-x_{3}+2x_{4}\right) ^{2}-2\left( x_{3}+2x_{4}\right) ^{2} \\ &=&\left[ \frac{1}{2}\left( x_{1}+x_{2}+3x_{3}+6x_{4}\right) \right] ^{2}-% \left[ \frac{1}{2}\left( x_{1}-x_{2}-x_{3}+2x_{4}\right) \right] ^{2}-\left[ \sqrt{2}\left( x_{3}+2x_{4}\right) \right] ^{2}. \end{eqnarray*}\]
On peut déduire que \(sgn(q) = (1, 2)\), \(rang(q) = 3\), \(dim ker(q) = 1\), d’où \(q\) est dégénérée.
La recherche d’une base orthogonale : Soit le changement de variables
\(\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} x_{1}^{\prime }=\frac{1}{2}\left( x_{1}+x_{2}+3x_{3}+6x_{4}\right) \\ x_{2}^{\prime }=\frac{1}{2}\left( x_{1}-x_{2}-x_{3}+2x_{4}\right) \\ x_{3}^{\prime }=\sqrt{2}\left( x_{3}+2x_{4}\right) \\ x_{4}^{\prime }=x_{4} \end{array} \right. \end{equation*}\)
d'où
\(\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} x_{1}=x_{1}^{\prime }+x_{2}^{\prime }-\frac{1}{\sqrt{2}}x_{3}^{\prime }-2x_{4}^{\prime } \\ x_{2}=x_{1}^{\prime }-x_{2}^{\prime }-\sqrt{2}x_{3}^{\prime }+2x_{4}^{\prime } \\ x_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{3}^{\prime }-2x_{4}^{\prime } \\ x_{4}=x_{4}^{\prime } \end{array} \right. \end{equation*}\).
D'où \(X=PX^{^{\prime }}\),
\[\begin{equation*} P=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 1 & -1 & -\sqrt{2} & 2 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1% \end{array}% \right) , \end{equation*}\]
où \(P\) est la matrice de passage de la base canonique à la base orthogonale \(B^{\prime }\).
\(B^{\prime }=\left\{ v_{1}=\left( 1,1,0,0\right) ,v_{2}=\left( 1,-1,0,0\right) ,v_{3}=\left( -\frac{1}{\sqrt{2}},-\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2} },0\right) ,v_{4}=\left( -2,2,-2,1\right) \right\}\).
L'expression de \(q\) dans \(B^{^{\prime }}\) est \(q(x)=x_{1}^{\prime 2}-x_{2}^{\prime 2}-x_{3}^{\prime 2}\).
La matrice de \(q\) dans \(B^{^{\prime }}\) est
\(\begin{equation*} D=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) . \end{equation*}\).