CHAPITRE 4 : FORMES QUADRATIQUES

Soit \(q:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\), \(q(x,y)=-x^{2}+11y^{2}-16xy\), \(B\) est la base canonique de \(\mathbb{R}^{2}\). On a

\(\begin{equation*} M=M_{B}(q)=\left( \begin{array}{cc} -1 & -8 \\ -8 & 11 \end{array} \right) \text{ matrice sym\'{e}trique} \end{equation*}\).

- Calcul des valeurs propre de la matrice \(M\) :

\(p_{M}(\lambda )=\det (M-\lambda I)=(\lambda +5)(\lambda -15)\). Les valeurs propres sont \(\lambda _{1}=15\), \(\lambda _{2}=-5\).

- Les sous espaces vectoriels associées aux valeurs propres sont :

\(E_{\lambda _{1}}=\langle\left(1,-2\right) \rangle, E_{\lambda _{2}}=\langle (2,1) \rangle\).

On choisit une base \(q\)-orthogonale, et orthonormée par rapport au produit scalaire qui est

\(B^{\prime }=\left\{ e_{1}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( 1,-2\right) ,e_{2}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( 2,1\right) \right\}\)

\(\begin{equation*} P=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}\).

matrice orthogonale.

\(\begin{eqnarray*} M^{\prime } &=&M(q,B^{\prime })=^{t}PMP=P^{-1}MP \\ &=&\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} -1 & -8 \\ -8 & 11 \end{array} \right) \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array} \right) \\ &=&\left( \begin{array}{ll} 15 & 0 \\ 0 & -5 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ll} \lambda _{1} & 0 \\ 0 & \lambda _{2} \end{array} \right) \end{eqnarray*}\).

L'expression de \(q\) dans \(B^{\prime}\) est : \(q(x)=^{t}X^{\prime }M^{\prime }X^{\prime }=15x^{\prime 2}-5y^{^{\prime }2}\).

Soit \(q:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}\), \(q(x)=-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+2\left( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)\).

\(B\) est la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) : On a

\(\begin{equation*} M=M_{B}(q)=\left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right) \end{equation*}\) matrice symétrique.

- Calcul des valeurs propre de la matrice \(M\)

\(p_{M}(\lambda )=\det (M-\lambda I)=(1-\lambda )(\lambda +2)^{2}\).

Les valeurs propres sont \(\lambda _{1}=1\), \(\lambda _{2}=-2\).

- Les sous-espaces propres sont \(E_{\lambda _{1}}=\langle v_{1}=\left( 1,1,1\right) \rangle,E_{\lambda _{2}}=\langle v_{2}=\left( -1,1,0\right) ,v_{3}=\left( -1,0,1\right) \rangle\). On remarque que \(\langle v_{1},v_{2}\rangle=\langle v_{1},v_{3}\rangle=0\), \(\langle v_{2},v_{3}\rangle=1\neq 0\), en utilisant le procédé de Gram-Schmidt on obtient

\(\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} u_{1}=v_{1} \\ u_{2}=v_{2} \\ u_{3}=v_{3}-\frac{<v_{3},v_{2}>}{\left\Vert v_{2}\right\Vert ^{2}}.v_{2}=- \frac{1}{2}\left( 1,1,-2\right) \end{array} \right. \end{equation*}\).

On peut choisir une base \(q\)-orthogonale formée de vecteurs propres

\(\left\{ \left( 1,1,1\right) ,\left( -1,1,0\right) ,-\frac{1}{2}\left( 1,1,-2\right) \right\}\),

et une base orthonormée par rapport au produit scalaire canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) formée de vecteurs propres

\(B^{\prime }=\left\{ \frac{1}{\sqrt{3}}\left( 1,1,1\right),\frac{1}{\sqrt{2}} \left( -1,1,0\right) ,-\frac{1}{\sqrt{6}}\left( 1,1,-2\right) \right\}\)

et on a

\(\begin{equation*} M^{\prime }=mat_{B^{\prime }}(q)=^{t}PMP=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right), \end{equation*}\)

où

\(\begin{equation*} P=\frac{1}{\sqrt{6}}\left( \begin{array}{ccc} \sqrt{2} & -\sqrt{3} & -1 \\ \sqrt{2} & \sqrt{3} & -1 \\ \sqrt{2} & 0 & 2 \end{array} \right) \text{ matrice orthogonale} \end{equation*}\).

L'expression de \(q\) dans \(B^{\prime }\) est

\(q(x)=^{t}X^{\prime }M^{\prime }X^{\prime }=x_{1}^{\prime 2}-2x_{2}^{\prime 2}-2x_{3}^{\prime 2}\).

où \(x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },x_{3}^{\prime }\) sont les coordonnées de \(x\) dans \(B^{\prime }\). De plus on a

\(\begin{eqnarray*} X^{\prime } &=&^{t}PX=\frac{1}{\sqrt{6}}\left( \begin{array}{ccc} \sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2} \\ -\sqrt{3} & \sqrt{3} & 0 \\ -1 & -1 & 2 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right) \\ &=&\frac{1}{\sqrt{6}}\left( \begin{array}{c} \sqrt{2}\left( x_{1}+x_{2}+x_{3}\right) \\ -\sqrt{3}\left( x_{1}-x_{2}\right) \\ -\left( x_{1}+x_{2}-2x_{3}\right) \end{array} \right) . \end{eqnarray*}\)

D'où

\(\begin{eqnarray*} q(x) &=&x_{1}^{\prime 2}-2x_{2}^{\prime 2}-2x_{3}^{\prime 2} \\ &=&\frac{1}{3}\left( x_{1}+x_{2}+x_{3}\right) ^{3}-\left( x_{1}-x_{2}\right) ^{2}-\frac{1}{3}\left( x_{1}+x_{2}-2x_{3}\right) ^{2}. \end{eqnarray*}\)

Cette d`dernière ´écriture ce n’est que la réduction en carrés de Gauss.