CHAPITRE 4 : FORMES QUADRATIQUES

On notera que les assertions suivantes sont équivalentes

1. La base \(B=(e_{i})\) est \(q\)-orthogonale.

2. Dans la base \(B=(e_{i})\) la forme \(q\) s'écrit sous la forme \(q(x)=\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}\).

3. Dans la base \(B=(e_{i})\) la matrice de \(q\) est diagonale.

De la même manière nous avons les équivalences suivantes

(i) La base \(B=(e_{i})\) est \(q\)-orthonormée.

(ii) Dans la base \(B=(e_{i})\) la forme \(q\) s'écrit sous la forme \(q(x)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\).

(iii) Dans la base \(B=(e_{i})\) la matrice de \(q\) est la matrice identité.

Nous donnons deux formulations différentes du même résultat.

1. Tout espace pseudo-euclidien \((E, q)\) de dimension finie possède une base orthogonale.

2. Tout espace pseudo-euclidien \((E, q)\) de dimension finie possède une base dans laquelle la matrice de \(q\) est diagonale.

Autrement dit ils existent \(r\in \left\{ 1,...,n\right\}\), une base \((e_{1},...,e_{n})\) de \(E\) et des scalaires non nuls \(\lambda_{1},...,\lambda _{r}\) tels que

\[\begin{eqnarray*} M(q)=\left( \begin{array}{cccccc} \lambda _{1} & & \cdots & & & 0 \\ & \ddots & & & & \\ \vdots & & \lambda _{r} & & & \vdots \\ & & & 0 & & \\ & & & & \ddots & \\ 0 & & \cdots & & & 0% \end{array}% \right) \end{eqnarray*}\]

évidemment \(r\) est le rang de \(q\).

Preuve :

Nous procédons par récurrence sur \(n\), la dimension de \(E\). Pour \(n= 1\) le résultat est trivial.

Supposons le vrai pour les espaces de dimension \(n-1\). Soit \((E,q)\) un espace de dimension \(n\), si \(q=0\), le résultat est trivial, nous supposons donc qu'il existe \(a\in E\) tel que \(q(a)\neq 0\).

On pose \(\langle a\rangle ^{\bot }=\{x\in E,b(x,a)=0\}\). On l'appelle l'orthogonal de \(a\), c'est le sous-espace des éléments \(q\)-orthogonaux à \(a\). On notera que

\(\langle a\rangle ^{\bot }=\ker b(. ,a)\).

Et puisque la forme linéaire \(b(. ,a)\) n’est pas nulle, l’orthogonal de \(a\) est un hyperplan de \(E\). Puisque par ailleurs \(a\notin \langle a\rangle ^{\bot }\), nous avons \(E=\langle a\rangle \oplus \langle a\rangle ^{\bot }\).

D'après l'hypothèse de récurrence, l'orthogonal de \(a\) possède une base \(q\)-orthogonal \((e_{1},...,e_{n-1})\). La famille \((a,e_{1},...,e_{n-1})\) est alors une base \(q\)-orthogonal de \(E\).

Nous souhaiterons faire une remarque sur le cas réel. Nous disposons en effet dans ce cas d'un raccourci: le théorème spectral. Ce dernier affirme que toute matrice symétrique réelle d'ordre \(n\) est diagonalisable dans une base orthonormée de l'espace euclidien \(\mathbb{R}^{n}\) ainsi, si \(A\) désigne la matrice de \(q\) dans une base de \(E\), la symétrie de cette matrice implique l'existence d'une matrice orthogonale \(P\in M_{n}(\mathbb{R})\) telle que \(P^{-1}AP\) soit diagonale. Or le fait que \(P\) soit orthogonale implique que \(^{t}P=P^{-1} \)et dont \(^{t}PAP\) est diagonale, d'où le résultat.

Cette preuve algébrique établit un curieux lien entre les formes quadratiques et les endomorphismes. On peut dans la pratique profiter de ce lien pour réduire notre forme réelle \(q\). Concrètement, on appelle \(\left( e\right)\) la base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(q\) est \(A\) et on diagonalise cette dernière. Cela consiste à chercher les valeurs propres \(\lambda _{1},...,\lambda _{n}\) de \(A\), et des vecteurs propres \(\mathbb{R}^{n}\) associées a chacune de ces valeurs. On prend soin de choisir ces vecteurs de manière à ce qu'ils forment une base orthonormée de \(\mathbb{R}^{n}\). Ce dernier point est fondamental, on obtient ainsi une matrice diagonale \(D\) tel que

\(D=P^{-1}AP\)

où \(P\) est la matrice de la base \(\left( v_{1},...,v_{n}\right)\) dans la base canonique, ensuite on transpose cette écriture à \((E,q)\) en définissant la base \(\left( a_{1},...,a_{n}\right)\) de \(E\) par \(M_{\left( e\right) }(a_{1},...,a_{n})=P\).

Dans cette base \(q\) est réduite.