1. Formes linéaires, espace dual
Définition : Définition 1.1
Soit \(E\) un \(K\) espace vectoriel. On appelle forme linéaire sur \(E\) toute application linéaire de \(E\) dans \(K\).
On appelle espace dual de \(E\), noté \(E^*\), l’espace vectoriel des formes linéaires sur \(E\). Autrement dit, \(E^* = L (E, K)\) et \(\varphi\in E^*\) signifie que \(\varphi:E\rightarrow K\) est une application linéaire telle que : \(\forall\left(x,y\right) \in E^{2}, \forall \left( \alpha ,\beta \right) \in K^{2},\varphi \left( \alpha x+\beta y\right) =\alpha \varphi \left( x\right) +\beta \varphi \left( y\right)\).
Exemple : Exemple 1.1
L’application \(\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R},\left( x,y\right) \mapsto 2x+y\) est une forme linéaire sur \(\mathbb{R}^{2}\).
L’application nulle de \(E\) dans \(K\) est une forme linéaire, appelée forme nulle sur \(E\).
Si \(E=K\left[ X\right]\) l'espace des polynômes à coefficients dans \(K\), alors pour tout \(a\in K\), l'application \(P\mapsto P(a)\) est une forme linéaire sur \(E\).
Si \(E=C\left( \left[ a,b\right],\mathbb{R}\right)\) l'espace des fonctions réelles continues sur \([a,b]\), alors l'application \(f\mapsto \int_{a}^{b}f(t)dt\) est une forme linéaire sur \(E\).
Si \(E=M_{n}\left( K\right)\), alors l'application trace \(:A=\left( a_{ij}\right) \mapsto tr\left( A\right) =\sum_{1}^{n}a_{ii}\) est une forme linéaire sur \(E\).
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\) et \(B=\left( e_{1},...,e_{n}\right)\) une base de \(E\). Tout élément \(x\in E\) s'écrit d'une manière unique sous la forme \(x=\sum_{1}^{n}x_{i}e_{i}\).
Pour chaque \(j\in \left[ 1,n\right]\), l'application \(e_{j}^{*}:E\rightarrow K,x\mapsto e_{j}^{\ast }(x)=x_{j}\) est une forme linéaire sur \(E\), appelée \(j^{ème}\) forme coordonnée relative à la base \(B\).
Fondamental : Proposition 1.1
Soit \(n\in \mathbb{N}^{\ast }\).
Soit \(\left( \lambda _{1},...,\lambda _{n}\right) \in K^{n}\).
L'application de \(K^{n}\) dans \(K\) qui à tout \(x=\left( x_{1},...,x_{n}\right) \in K^{n}\) associe le scalaire \(\varphi (x)=\sum_{1}^{n}\lambda _{j}x_{j}\), est une forme linéaire sur \(K^{n}\). Réciproquement, pour toute forme linéaire \(\varphi\) sur \(K^{n}\), il existe un \(n\)-uplet \(\left( \lambda _{1},...,\lambda _{n}\right) \in K^{n}\) tel que pour tout \(x=\left( x_{1},...,x_{n}\right) \in K^{n}\), on ait \(\varphi (x)=\sum_{1}^{n}\lambda _{j}x_{j}\).
Preuve :
Le premier point résulte d'une vérification directe.
Soit \((e_{1},...,e_{n})\) la base canonique de \(K^{n}\) et soit \(\varphi :K^{n}\rightarrow K\) une forme linéaire sur \(K^{n}\).
Tout élément \(x\in K^{n}\) s'écrit d'une façon unique sous la forme \(x=\sum_{1}^{n}x_{j}e_{j}\) et donc \(\varphi (x)=\sum_{1}^{n}x_{j}\varphi \left( e_{j}\right)\). D'où l'existence et l'unicité des \(\lambda _{j}=\varphi \left( e_{j}\right) ,1\leq j\leq n\).
Fondamental : Proposition 1.2
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie. Alors son dual \(E^{\ast }\) est de dimension finie et \(\dim E=\dim E^{\ast }\).
Preuve : En effet, \(\dim E^{\ast }=\dim L\left( E,K\right) =\dim E\times \dim K=\dim E\).