COURS D'ALGEBRE 4

Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie et considérons l'application

\[\begin{equation*} \begin{array}{c} \Phi :E\rightarrow E^{\ast \ast } \\ \begin{array}{c} \qquad \quad \qquad x\mapsto \overset{\sim }{x}:E^{\ast }\rightarrow K \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \varphi \mapsto \varphi (x)% \end{array}% \end{array}% \end{equation*}\]

\(\Phi\) est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Preuve :

En effet, la linéarité est facile à démontrer car: \(\forall x,y\in E,\forall \alpha ,\beta \in K, \Phi \left( \alpha x+\beta y\right) = \widetilde{\left( \alpha x+\beta y\right) } : E^{\ast }\rightarrow K\). D'autre part, pour tout \(\varphi \in E^{\ast }\) on a

\(\widetilde{\left( \alpha x+\beta y\right) }\left( \varphi \right) =\varphi \left( \alpha x+\beta y\right) =\alpha \varphi \left( x\right) +\beta \varphi \left( y\right) =\alpha \overset{\sim }{x}\left( \varphi \right) +\beta \overset{\sim }{y}\left( \varphi \right) =\left( \alpha \overset{\sim }{x}+\beta \overset{\sim }{y}\right) \left( \varphi \right)\).

D'où \(\Phi \left( \alpha x+\beta y\right) =\widetilde{\left( \alpha x+\beta y\right) }=\alpha \overset{\sim }{x}+\beta \overset{\sim }{y}=\alpha \Phi \left( x\right) +\beta \Phi \left( y\right)\).

La bijection : Soit \(x\in Ker(\Phi )\), alors \(\varphi (x)=0\) pour tout \(\varphi \in E^{\ast }\). On en déduit d'après la proposition 1.5 que \(x=0\). Donc \(\Phi\) est injectif et comme \(E\), \(E^{\ast }\) et \(E^{\ast \ast }\) ont la même dimension, \(\Phi\) est un isomorphisme de \(E\) sur \(E^{\ast \ast }\).

Cet isomorphisme permet d'identifier le bidual \(E^{\ast \ast }\) à \(E\).