COURS D'ALGEBRE 4

Soit \(B=(e_{j})_{j=1}^{n}\) une base d'un un espace vectoriel de dimension finie \(E\). La famille des formes coordonnées \(B^{\ast }=(e_{i}^{\ast })_{i=1}^{n}\) est une base de l'espace dual \(E^{\ast }\), appelée base duale de la base \(B\).

De plus, pour tout \(i,j\in [1,n]\), on a les relations d'orthogonalité de Kronecker :

\[\begin{equation*} e_{i}^{\ast}\left(e_{j}\right)=\delta_{ij}=\left\{ \begin{array}{c}1 \\ 0% \end{array}% \begin{array}{c} \text{si }i=j \\ \text{si }i\neq j% \end{array}% \right. \end{equation*}\]

Preuve :

Par définition \(e_{i}^{\ast }:E\rightarrow K,x=\sum_{1}^{n}x_{j}e_{j}\mapsto e_{i}^{\ast }(x)=x_{i}\).

Donc \(e_{i}^{\ast }\left( e_{j}\right) =\delta _{ij}\) pour tout \(i,j\in \left[ 1,n\right]\).

Soit \(\varphi \in E^{\ast }\) et considérons la forme linéaire \(\phi =\sum_{i=1}^{n}\varphi \left( e_{i}\right) e_{i}^{\ast }\). Pour tout \(j\in \lbrack 1,n]\), on a \(\phi \left( e_{j}\right) =\sum_{i=1}^{n}\varphi \left( e_{i}\right) e_{i}^{\ast }\left( e_{j}\right) =\varphi \left( e_{j}\right)\). Les formes linéaires \(\varphi\) et \(\phi\) coïncident sur une base de \(E\) sont donc égales.

Par conséquent, \(\varphi =\sum_{i=1}^{n}\varphi \left( e_{i}\right) e_{i}^{\ast }\), et la famille \(B^{\ast }\) est une famille génératrice de \(E^{\ast }\). Comme \(\dim E^{\ast }=\dim E=n\), la famille \(B^{\ast }\) est une base de \(E^{\ast }\).

a) Si \(\varphi\) est une forme linéaire non nulle sur \(E\), il existe un vecteur \(x\in E\) (non nul) tel que \(\varphi (x)=1\).

b) Si \(x\) est un vecteur non nul de \(E\), il existe une forme linéaire \(\varphi \in E^{\ast }\) telle que \(\varphi (x)=1\).

Preuve :

a) Si \(\varphi \in E^{\ast }\backslash \left\{ 0\right\}\), alors il existe \(v\in E\) tel que \(\varphi (v)\neq 0\). Le vecteur \(x=\frac{v}{\varphi (v)}\) convient.

b) Si \(x=\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\in E\) est non nul, alors il existe \(i_{0}\in \left[ 1,n\right]\) tel que \(e_{i_{0}}^{\ast }\left( x\right) =x_{i_{0}}\neq 0\). La forme linéaire \(\varphi =\frac{1}{e_{i_{0}}^{\ast }\left( x\right) }e_{i_{0}}^{\ast }\) convient.

Toute base de \(E^∗\) est la base duale d’une unique base de \(E\), appelée base préduale.

Preuve :

Soit \(F=\left( \varphi _{1},...,\varphi _{n}\right)\) une base de \(E^{\ast }\) . L'application \(\Phi : x\mapsto \left( \varphi _{1}(x),...,\varphi _{n}(x)\right)\) de \(E\) dans \(K^{n}\) est linéaire. Soit \(x\in \ker (\Phi )\), donc \(\varphi _{1}(x)=...=\varphi _{n}(x)=0\). Si \(x\) n'est pas nul, alors d'après la proposition précédente, il existe \(\varphi \in E^{\ast }\) telle que \(\varphi (x)=1\) Cette forme linéaire s'écrit dans la base \(F\) sous la forme \(\varphi =\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}\varphi _{i}\).

Par conséquent \(1=\varphi (x)=\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}\varphi _{i}(x)=0\) ce qui est absurde. On en déduit que \(x=0\), et donc le noyau de \(\Phi\) est réduit à \(\left\{ 0\right\}\) et que \(\Phi\) est injective. Comme \(\dim \left( E\right) =n=\dim (K^{n})\), l'application \(\Phi\) est un isomorphisme.

Notons \(\left( e_{1},...,e_{n}\right)\) la base canonique de \(K^{n}\). Pour tout \(j\), un vecteur \(e_{j}\) vérifie \(\varphi _{i}(e_{j})=\delta _{ij}\) pour tout \(i\) si et seulement si \(\Phi (e_{j})=e_{j}\). Puisque \(\Phi\) est un isomorphisme, la famille \(B=\left( \Phi ^{-1}\left( e_{1}\right) ,...,\Phi ^{-1}\left( e_{n}\right) \right)\) est une base de \(E\) et c'est la seule famille de \(E\) satisfaisant aux conditions de Kronecker. Par conséquent, \(B\) est l'unique base de \(E\) dont \(F\) est la base duale.

Soient \(B_{1}\) et \(B_{2}\) deux bases de \(E\), et soit \(P\) la matrice de passage de \(B_{1}\) à \(B_{2}\). Alors la matrice de passage de \(B_{1}^{\ast }\) à \(B_{2}^{\ast }\) est \(^{t}P^{-1}\).

Preuve :

Posons \(B_{1}=\left( e_{1},...,e_{n}\right) ,B_{2}=\left( f_{1},...,f_{n}\right)\) et \(P=\left( a_{ij}\right) _{1\leq i,j\leq n}\), puis notons \(Q=\left( b_{ij}\right) _{1\leq i,j\leq n}\) la matrice de passage de \(B_{1}^{\ast }\) à \(B_{2}^{\ast }\). Par définition de la matrice de passage on a pour tout \(k\in \left[ 1,n\right] ,f_{k}= \sum_{l=1}^{n}a_{lk}e_{l}\) et pour tout \(j\in \left[ 1,n\right] ,f_{j}^{\ast }=\sum_{l=1}^{n}b_{ij}e_{i}^{\ast }\). Donc pour tout \(j,k\in \left[1,n \right]\),

\[\begin{eqnarray*} \delta _{jk} &=&f_{j}^{\ast }\left( f_{k}\right) =\left( \sum_{l=1}^{n}b_{ij}e_{i}^{\ast }\right) \left( \sum_{l=1}^{n}a_{lk}e_{l}\right) \\ &=&\sum_{l=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}b_{ij}a_{lk}\delta _{il} \\ &=&\sum_{i=1}^{n}b_{ij}a_{ik} \\ &=&\left( ^{t}QP\right) _{jk}. \end{eqnarray*}\]

Donc \(^{t}QP=I_{n}\) et \(Q=^{t}P^{-1}\).