2. Hyperplan
Définition : Définition 1.2
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel. On appel hyperplan de \(E\), le noyau de toute forme linéaire sur \(E\) autre que la forme nulle.
Autrement dit, une partie \(H\) de \(E\) est un hyperplan de \(E\) s'il existe \(\varphi \in E^{\ast }\backslash \left\{ 0\right\}\) telle que \(H=\ker \left( \varphi \right)\). On dit alors que la relation \(\varphi (x)=0\) est une équation de l'hyperplan \(H\).
Exemple : Exemple 1.2
a) \(H=\left\{ A\in M_{n}\left( K\right) ;Tr\left( A\right) =0\right\}\) est un hyperplan de \(M_{n}\left( K\right)\).
b) \(H=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3};2x-3y+z=0\right\} \)est un hyperplan de \(\mathbb{R}^{3}\).
c) \(H=\left\{ P\in K\left[ X\right] ;P(0)=0\right\}\) est un hyperplan de \(K\left[ X\right]\).
Fondamental : Proposition 1.3
Soit \(H\) un sous-espace vectoriel de \(E\). Les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) \(H\) est un hyperplan de \(E\).
b) Il existe dans \(E\) une droite vectorielle \(D\) supplémentaire de \(H\) telle que \(E=H\oplus D\).
Si \(E\) est de dimension finie, les conditions précédentes sont équivalentes à
c) \(\dim (H)=\dim (E)-1\) (autrement dit, \(H\) est de codimension \(1\)).
d) Toute droite vectorielle de \(E\) engendrée par un vecteur n'appartenant pas à \(H\) est un supplémentaire de \(H\).
Preuve :
\(a) \Rightarrow b)\) : Si \(H\) est un hyperplan de \(E\), il existe \(\varphi \in E^{\ast }\backslash \left\{ 0\right\}\) telle que \(H=\ker \left( \varphi \right)\). Puisque\( \varphi\) n'est pas nulle, il existe \(v\in E\) tel que \(\varphi (v)\neq 0\).
Considérons la droite vectorielle \(D=Kv\) et montrons que \(E=H\oplus D\). Soit \(x\in H\cap D\). Il existe \(\lambda \in K\) tel que \(x=\lambda v\) et \(\varphi (x)=0\), donc \lambda \(\varphi (v)=\varphi (\lambda v)=0\). Comme \(\varphi (v)\) est non nul, on déduit que \(\lambda =0\) et \(x=0\). Ainsi \(H\cap D=\left\{ 0\right\}\). Soit \(x\in E\) et montrons que \(x\in H+D\). Soit \(\lambda =\frac{\varphi (x)}{\varphi (v)}\) et posons \(y=x-\frac{\varphi (x)}{\varphi (v)}v\) qui est un élément de \(H\) puisque \(\varphi \left( y\right) =\varphi \left( x-\frac{\varphi (x)}{\varphi (v)}v\right) =\varphi (x)-\frac{\varphi (x)}{\varphi (v)}\varphi \left( v\right) =0\). D'où \(x=y+\lambda v\in H+D\).
c) Si \(E\) est de dimension finie, on a \(dim ker(\varphi) +\dim Im(\varphi) =\dim E\). D'où \(dim H+dim K=dim E\), alors \(dim (H)= dim (E)-1\) (puisque \(dim K=1\)).
Complément : Remarque 1.1
Si \(E\) est de dimension finie \(n\) et \(B=(e_{j})_{j=1}^{n}\) une base de \(E\). Relativement à la base \(B\) un hyperplan \(H\) de \(E\) admet une équation unique, de la forme \(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=0\) où on a noté \(x_{1},...,x_{n}\) les coordonnées des vecteurs \(x\in E\) par rapport à \(B\).
Complément : Corollaire 1.1
Deux formes linéaires non nulles sur un espace vectoriel \(E\) sont proportionnelles si et seulement si elles ont le même noyau.
Preuve :
Soit \(\varphi ,\psi \in E^{\ast }\backslash \left\{ 0\right\}\). Supposons que \(\ker \left( \varphi \right) =\ker \left( \psi \right) =H\). Soit \(v\notin H\) (donc \(\varphi (v)\) et \(\psi (v)\) ne sont pas nuls). Posons \(\alpha =\frac{\varphi (v)}{\psi (v)}\) et montrons que \(\varphi =\alpha \psi\). Soit \(x\in E\), d'après la proposition précédente \(E=H\oplus Kv\), donc \(x\) s'écrit \(x=y+\lambda v\) avec \(y\in H\) et \(\lambda \in K\). D'où \(\varphi (x)=\varphi \left( y\right) +\lambda \varphi (v)=\lambda \varphi (v)=\lambda \left( \alpha \psi (v)\right) =\alpha \left( \psi (y)+\lambda \psi (v)\right) =\alpha \psi \left( x\right)\). Donc \(\varphi\) et \(\psi\) sont proportionnelles.
La réciproque est immédiate car
\[\begin{eqnarray*} \ker (\varphi ) &=&\left\{ x\in E:\varphi (x)=0\right\} \\ &=&\left\{ x\in E:\alpha \psi (x)=0,\alpha \neq 0\right\} \\ &=&\left\{ x\in E:\psi (x)=0\right\} \\ &=&\ker \left( \psi \right) . \end{eqnarray*}\]