Présentation du cours

En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. Tout espace métrique est canoniquement muni d'une topologie. Les espaces métrisables sont les espaces topologiques obtenus de cette manière. L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant. La classe d'isométrie d'un espace métrique (c'est-à-dire l'ensemble de tous les espaces de même structure métrique) est beaucoup plus petite que sa classe d'homéomorphie. Par exemple, un carré, un triangle, un cercle et n'importe quelle courbe de Jordan sont homéomorphes, par contre ils ne sont pas isométriques. Ainsi une structure métrique code beaucoup plus d'information sur la forme géométrique des objets qu'une simple structure topologique ; ce qui n'a rien de surprenant, car la notion de distance entre deux points est centrale pour la géométrie usuelle.

Les objectifs généraux
Ce cours est une introduction à la topologie générale. Cette discipline a pour objet principal l'étude abstraite de notions telles que la continuité, la compacité, la connexité etc... ainsi que les propriétés et théorèmes s'y rapportant. Ces notions sont définies dans un ensemble quelconque et généralisent celles qui ont été introduites au cours d'analyse de première année pour les espaces euclidiens. On pourra aborder entre autres les thèmes suivants : -La définition d'une topologie, les voisinages, l'intérieur, l'adhérence ou la frontière d'un ensemble, la continuité des applications. -L'ordre dans l'ensemble des topologies, les topologies initiales et finales, les sous-espaces, les espaces produits et quotients. -Les axiomes de séparation, la compacité et la connexité, ainsi que quelques théorèmes classiques.