Contenu

Le cours est composé de cinq unités d'apprentissage.

 

Chapitre 1 : Logique, Ensembles et Applications

1.       Logique

 1.1. Définition d’une proposition
 1.2. Connecteurs logiques et quantificateurs
 1.3. Quelques modes de raisonnement en mathématiques

2.       Ensembles
2.1. Définitions (vocabulaires et notations)
2.2. Opération sur les ensembles (égalité, union, intersection et produit cartésien, …)
2.3. Comparaison entre ensembles (inclusion, complémentarité et parties d’un ensemble, …)

 

3.      Applications
3.1. Définitions et généralités
3.2. Image directe, image réciproque, prolongement, restriction et composition
3.3. Applications injectives, surjectives, bijectives et réciproques.

 

Chapitre 2 : L’ensemble des nombres réels

1.    Définition axiomatique de l’ensemble des nombres réels

1.1. Lois de composition dans un ensemble (Exemples de lois dans N, Z et Q)
        Remarque : Les structures algébriques ne font pas partie du programme
1.2. Axiomes du corps (Propriétés axiomatiques des lois d’addition et de multiplication formant

        la structure du corps des réels)
1.3. Axiome de l’ordre (Comparaison entre les nombres réels)
1.4. Axiome de la borne supérieure (Définition du plus grand et plus petit
       élément d’une partie de R, majorants, minorants, bornes supérieure et inférieure)
        Remarque : La notion de bornes sup et inf est visualisée sur les intervalles de R et les suites monotones de R seulement.

2.      Propriétés fondamentales du corps des réels
2.1. Valeur absolue d’un nombre réel, distance entre deux nombres réels
2.2. Intervalles
2.3. Partie entière
2.4. Les radicaux
Quelques formules de base dans R : Binôme de Newton et triangle de Pascal.

 

Chapitre 3 : Fonctions numériques de la variable réelle

1.       Définitions et généralités
1.1. Définition d’une fonction réelle de la variable réelle
1.2. Propriétés d’une fonction (parité, périodicité, monotonie, …)
1.3. Opérations sur les fonctions (Somme, produit, composition, …)

2.      Limites, Continuité
2.1. Limites : Définition, unicité, caractérisation séquentielle (par les suites) de la limite
2.2. Continuité en un point, continuité sur un intervalle, prolongement par continuité
2.3.Théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues sur un intervalle : Théorème des valeurs intermédiaires (rappel), Théorème de la bijection et de la fonction réciproque, Théorème des bornes atteintes

3.       Dérivabilité
3.1 Dérivabilité en un point, nombre dérivée
3.2. Interprétation géométrique : Tangente, approximation affine
3.3. Approximation linéaire, notion de la différentielle
3.4. Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée
3.5. Extrema d’une fonction
3.6. Opérations sur les dérivées : dérivées de fonctions composées et des fonctions réciproques

4.       Théorèmes fondamentaux sur les fonctions dérivables sur un intervalle
4.1. Théorème de Rolle,
4.2. Théorème des accroissements finis
4.3. Théorème de l’Hôpital

5.      Fonctions élémentaires
5.1. Fonctions logarithmiques et exponentielles de bases quelconques :nouvelles formes indéterminées
5.2. Fonctions trigonométriques et leurs réciproques
5.3. Fonctions hyperboliques et leurs réciproques

Chapitre 4 : Formules de Taylor et Développements limités

1.      Formules de Taylor
1.1. Dérivées successives et applications à quelques fonctions usuelles
1.2. Formule de Taylor avec reste de Lagrange au voisinage d’un point
1.3. Formule de Taylor avec reste de Young au voisinage d’un point
1.4. Formule de Mac- Laurin avec reste de Lagrange et Young
1.5. Applications à quelques fonctions usuelles

2.      Développement limité au voisinage de 0
2.1. Définition et exemples
2.2. Fonctions négligeables, notation de Landau (juste le petit o)
2.3. Unicité d’un développement limité
2.4. Développements limités obtenus par la formule de Mac-Laurin

       avec exemples sur les fonctions élémentaires de bases
2.5. Opérations sur les développements limités (Somme, produit,
 quotient, composée, dérivation et intégration)

3.      Développements limités au voisinage d’un point

4.      Développements limités au voisinage de l’infini

5.      Applications des développements limités
5.1. Calcul des limites
5.2. Équation de la tangente et étude de la position
5.3. Asymptotes et position
5.4. Extremums locaux

 

Chapitre 5 : Espaces Vectoriels et applications linéaires

1.      Définition d’un espace vectoriel et sous-espaces vectoriels

2.      Relations entre vecteurs d’un espace vectoriel
2.1. Dépendance linéaire, Indépendance linéaire ; famille libre, liées
2.2. Rang d’une famille de vecteurs
2.3. Bases et dimension
2.4. Changement de base, coordonnées d’un vecteur par rapport à une nouvelle base
2.5 Application aux vecteurs du plan et de l’espace

3.      Applications linéaires
3.1. Définition et exemples
3.2. Noyau et image d’une application linéaire